## [Born‑Regel](/de/node/50570) Definition Die Bornsche Regel ist die quantenmechanische Vorschrift, die einer Messausgangswahrscheinlichkeit einen Wert zuordnet: die Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis zu erhalten, das durch den Projektor P beschrieben wird, wenn das System im Zustand |ψ⟩ ist, lautet Tr(P |ψ⟩⟨ψ|) = ⟨ψ|P|ψ⟩; für einen reinen Ausgang, dargestellt durch einen normierten Vektor |φ⟩, reduziert sich dies auf |⟨φ|ψ⟩|^2. ## Prinzip Prinzip In der Quantenmechanik werden Wahrscheinlichkeiten aus quadratischen Amplituden (bzw. Erwartungswerten von Projektoren) gewonnen; Amplituden sind komplex, physikalische Vorhersagen sind reelle nichtnegative Zahlen, die daraus berechnet werden. ## Demonstration Demonstration Für ein Spin-1/2-Teilchen im Zustand |ψ⟩ = α|↑⟩ + β|↓⟩ mit |α|^2+|β|^2=1 sagt die Bornsche Regel die Wahrscheinlichkeit |α|^2 für die Messung von Spin-up entlang der gewählten Achse voraus. Bei einer kontinuierlichen Observable wie der Position ergibt die Regel die Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ(x)|^2 bezüglich des Lebesgue-Maßes. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Bornsche Regel auf einen nicht normierten Vektor anzuwenden, ohne zu normalisieren, oder das Betragsquadrat bei kontinuierlichem Spektrum ohne das entsprechende Maß zu verwenden, führt zu falschen Wahrscheinlichkeiten; ebenso ist es falsch, schlecht definierte Operatoren als Messereignisse zu behandeln. ## Konsequenz Konsequenz Die Bornsche Regel verbindet den abstrakten Zustandsvektor oder die Dichtematrix mit experimentellen Statistikdaten und macht Quanten-Zustände empirisch interpretierbar; sie erlaubt die Berechnung von Erwartungswerten, Varianzen und Häufigkeiten. ## Umkehrung Umkehrung Die Umkehrung der Regel — zu versuchen, einen eindeutigen Zustandsvektor aus einer einzelnen Wahrscheinlichkeit zu rekonstruieren — scheitert, weil Wahrscheinlichkeiten relative Phasen vernichten und für gemischte Zustände keine eindeutige Bestimmung eines reinen Zustands zulassen. ## Abgrenzung Abgrenzung Die Bornsche Regel gilt für projektive Messungen und verallgemeinert sich auf positive Operatorwertige Maße (POVMs) durch Tr(E_i ρ); sie legt keine Dynamik fest und setzt für kontinuierliche Spektren die passende Maßtheorie voraus. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Es besteht Spannung zwischen der Auffassung der Bornschen Regel als fundamentales Postulat und dem Versuch, sie aus tieferen Prinzipien herzuleiten (z. B. entscheidungstheoretisch oder durch Symmetrieargumente); ferner Spannung zwischen der operationalen Wahrscheinlichkeitsvorschrift und ontologischen Deutungen der Amplitude. ## Synthese Synthese Die Bornsche Regel ist die operationelle Brücke zwischen formalem Quantenwesen (Zuständen und Operatoren) und beobachtbaren Häufigkeiten: man berechnet Skalarprodukte oder Traces, nimmt Betragsquadrat oder Erwartungswert und interpretiert das Ergebnis als messbare Wahrscheinlichkeit unter Beachtung der Normalisierung und des geeigneten Maßes.