##  [Tensorprodukt](/de/node/50588) 

 Definition

Eine Operation, die zwei (oder mehr) Vektorräume zu einem neuen Vektorraum kombiniert, in dem gemeinsame Zustände dargestellt werden, geschrieben H1 ⊗ H2; für Vektoren |ψ⟩ ∈ H1 und |φ⟩ ∈ H2 steht der einfache Tensor |ψ⟩⊗|φ⟩ für ihren gemeinsamen (Produkt‑)Zustand, und Linearkombinationen spannen den zusammengesetzten Raum auf.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Das Tensorprodukt erzwingt Bilinearität: (a|ψ⟩+b|ψ'⟩)⊗|φ⟩ = a(|ψ⟩⊗|φ⟩)+b(|ψ'⟩⊗|φ⟩), und entsprechend im zweiten Faktor. Es liefert den minimalen Raum, der unabhängige lineare Superposition in jedem Subsystem unterstützt und bildet die Grundlage für Verschränkung, wenn gemeinsame Zustände nicht faktorisierbar sind.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für zwei Qubits mit Basen {|0⟩,|1⟩} ist die zusammengesetzte Basis {|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩} wobei |01⟩ = |0⟩⊗|1⟩. Der Bell-Zustand (|00⟩+|11⟩)/√2 ist ein verschränkter Vektor in H⊗H, der sich nicht als einfaches Tensorprodukt von Subsystemzuständen schreiben lässt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Das Tensorprodukt mit einer direkten Summe zu verwechseln oder vorauszusetzen, dass jeder gemeinsame Vektor faktorisiert, führt dazu, Verschränkung zu übersehen; ebenso erzeugt naive komponentenweise Multiplikation ohne Beachtung der Linearität oder Basis-Konventionen falsche zusammengesetzte Amplituden.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Das Tensorprodukt formt die Komposition quantenmechanischer Systeme, ermöglicht die Darstellung verschränkter Zustände und definiert, wie lokale Operatoren via A⊗B auf Produktzustände zu globalen Operatoren erweitert werden.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Ersetzt man das Tensorprodukt durch das kartesische Produkt von Mengen, geht die lineare Struktur und Superposition verloren; ersetzt man es durch eine direkte Summe erhält man eine andere Kompositionsvorstellung, die eher klassischen probabilistischen Mischungen oder blockstrukturierten Systemen entspricht, nicht gemeinsamen Quantensystemen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert für Vektorräume (und Hilberträume) mit Vervollständigung für unendlich-dimensionale Fälle; physikalische Einschränkungen (Symmetrisierung bei identischen Teilchen, Superselektionsregeln) modifizieren die naive Tensorproduktkonstruktion für ununterscheidbare Teilchen und eingeschränkte Sektoren.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen dem Tensorprodukt als algebraischer Konstruktion und seiner physikalischen Interpretation: mathematisch ist nicht jeder Vektor in H1⊗H2 separabel, physikalisch zeigen verschränkte Zustände nichtlokale Korrelationen, die der Intuition von Produktzuständen fehlen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Das Tensorprodukt ist die bilineare Konstruktion, die Subsystemräume zu einem gemeinsamen Hilbertraum verbindet, unabhängige Superposition erlaubt, lokale Operatoren erweitert und die Existenz nichtfaktorisierbarer verschränkter Zustände ermöglicht.