## [Erwartungswert](/de/node/50612) Definition Der für ein Observabel in einem gegebenen Quantenzustand vorhergesagte Mittelwert, berechnet als Spur des Produkts von Dichtematrix und Observabel: = Tr(rho A); für reine Zustände |psi> gilt = . ## Prinzip Prinzip Der Erwartungswert ist ein lineares Funktional auf dem Raum der Observablen, das die statistische Vorhersage für ein Ensemble oder ein einzelnes System gemäß der Born-Regel codiert; er fasst den ersten Moment der Ergebnismenge zusammen. ## Demonstration Demonstration Für ein Spin-1/2-Teilchen im Zustand |↑_z> ist die Erwartung von sigma_z = <↑_z|sigma_z|↑_z> = +1, während sie im Zustand (|↑_z>+|↓_z>)/√2 gleich 0 ist. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Den Erwartungswert als Ergebnis einer einzelnen Messung in allen Fällen zu interpretieren; der Erwartungswert kann zwischen Eigenwerten liegen und entspricht nicht notwendigerweise einem tatsächlich gemessenen Einzelereignis, außer der Zustand ist Eigenzustand. ## Konsequenz Konsequenz Richtige Anwendung liefert experimentell zugängliche Mittelwerte über wiederholte Präparationen und bildet die Grundlage dynamischer Relationen (z. B. Heisenberg-Gleichungen für Erwartungswerte) sowie thermodynamischer Größen aus Operatormitteln. ## Umkehrung Umkehrung Der Gegensatz stellt Erwartungswerte den vollständigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen gegenüber: nur Erwartungswerte zu kennen bestimmt nicht die höheren Momente oder die vollständige Statistik, daher reichen sie nicht zur Rekonstruktion der Messverteilung. ## Abgrenzung Abgrenzung Definiert für selbstadjungierte Observablen und Zustände, für die die Spur existiert; bei unbeschränkten Operatoren muss überprüft werden, ob der Zustand im erforderlichen Definitionsbereich liegt. Erwartungswerte sind Momente, keine Wahrscheinlichkeitsmaße. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Der Erwartungswert wird oft mit Stichprobenmittel, experimentellem Durchschnitt oder klassischer Erwartung verwechselt; im Quantenkontext ist er von weak values zu unterscheiden, die komplex sein und von Prä- und Postselektion abhängen können. ## Synthese Synthese Der Erwartungswert ist der lineare Operatormittelwert für einen Zustand und liefert das erste statistische Moment der Messergebnisse: zentral für Vorhersage und Dynamik, aber ohne Kenntnis höherer Momente unvollständig.