##  [Projektionsoperator](/de/node/50620) 

 Definition

Ein linearer Operator P auf einem Hilbertraum mit P^2 = P; ist P zusätzlich selbstadjungiert (P† = P), so ist P eine orthogonale Projektion auf einen abgeschlossenen Unterraum, mit Spektrum in {0,1}.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

P trennt die Komponenten von Vektoren, die in einem bestimmten Unterraum liegen: einmaliges oder mehrfaches Anwenden liefert dasselbe Ergebnis; Projektoren haben Eigenwerte 1 auf dem Zielunterraum und 0 auf dem Komplement.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für einen normierten Vektor |ψ⟩ ist der Rang‑1‑Projektor P = |ψ⟩⟨ψ|. Für beliebiges |φ⟩ gilt P|φ⟩ = |ψ⟩⟨ψ|φ⟩, die Komponente von |φ⟩ entlang |ψ⟩; es gilt P^2 = P und P† = P.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Jeden idempotenten Operator als orthogonalen Projektor zu behandeln, ohne Selbstadjungiertheit zu prüfen; oder einen Projektor als Messoperator zu verwenden, ohne zwischen projektiver Messung und allgemeinem POVM zu unterscheiden.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Richtige Anwendung liefert eindeutige Zerlegung von Zuständen in ‚innen‘ und ‚außen‘ bezüglich des Unterraums, ermöglicht Spektraldekompositionen und realisiert ideale projektive Messungen mit Born‑Wahrscheinlichkeiten ⟨ψ|P|ψ⟩.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Der komplementäre Operator I − P projiziert auf das orthogonale Komplement; die Umkehrung ist ein unitärer Operator, der Norm erhält, aber keine Komponenten auf 0 oder 1 reduziert.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für lineare Operatoren auf Hilberträumen; nicht alle idempotenten Operatoren sind orthogonale Projektoren (nicht‑selbstadjungierte Idempotenten sind schiefe Projektoren). In unendlichen Dimensionen sind Definitionsbereich und Abschließbarkeit relevant.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen dem mathematischen Idempotentenbegriff und dem physikalischen Messprojektor; Rang‑1 vs. höherer Rang; orthogonale vs. schiefe Projektion.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein Projektionsoperator ist die lineare, idempotente Abbildung, die die Komponente eines Vektors in einem vorgegebenen (abgeschlossenen) Unterraum auswählt; als selbstadjungierter Operator ist er die orthogonale Projektion, die in Spektralzerlegungen und idealen projektiven Messungen verwendet wird.