##  [Identitätsoperator](/de/node/50622) 

 Definition

Der lineare Operator I auf einem Vektorraum oder Hilbertraum, der jeden Vektor auf sich selbst abbildet, I|ψ⟩ = |ψ⟩ für alle |ψ⟩; er ist das multiplikative Einselement in der Algebra der beschränkten Operatoren und wird oft I oder 1 genannt.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Wirkt neutral unter Komposition und Skalarmultiplikation: für jeden Operator A auf demselben Raum gilt IA = AI = A; sein Spektrum ist {1} und er ist invertierbar mit I−1 = I.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In einer endlichen orthonormalen Basis {|n⟩} schreibt sich die Identität als I = ∑_n |n⟩⟨n|. Auf einen beliebigen Zustand |ψ⟩ angewandt reproduziert die Summe |ψ⟩ durch Rekombination der Koeffizienten.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Identitätsoperatoren verschiedener Hilberträume zu verwechseln (I_H1 mit I_H2 gleichsetzen), oder Definitionsbereichsprobleme bei unbeschränkten Operatoren zu ignorieren und eine auf einen Unterraum eingeschränkte Identität als globale Identität zu behandeln.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Stellt die Abschlussrelation bereit, die Zustands‑ und Operatorentwicklungen in Basen ermöglicht, begründet die Definition von Resolventen und Green‑Funktionen via (A − λI) und liefert das neutrale Element für operatoralgebraische Operationen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Der Nulloperator bildet jeden Vektor auf 0 ab und verhält sich gegenüber Addition und Komposition entgegengesetzt; ersetzt man I durch einen Projektor auf einen echten Unterraum, wird die neutrale Komposition zur Projektionswirkung.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für lineare Operatoren auf dem angegebenen Vektorraum; in unendlicher Dimension muss geklärt werden, ob I die Identität auf dem gesamten Hilbertraum oder auf einer dichten Teilmenge bezeichnet, und Matrizenrepräsentationen hängen von der Basis ab.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen dem abstrakten Identitätsoperator und seiner Matrizenrepräsentation (Einheitsmatrix) oder dem Skalar 1; feine Unterscheidung zwischen Identität auf dem gesamten Raum und Identität auf einem Unterraum oder Direktsummenkomponenten.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der Identitätsoperator ist die eindeutige lineare Abbildung, die jeden Vektor unverändert lässt und als multiplikatives Einselement in der Operatoralgebra fungiert; er ermöglicht Basiszerlegungen, spektrale Verschiebungen und konsistente algebraische Manipulationen.