##  [Eigenbasis](/de/node/50630) 

 Definition

Eine Basis, die aus Eigenvektoren eines bestimmten linearen Operators besteht; ist der Operator normal (z. B. hermitesch), so diagonalisiert die Eigenbasis den Operator und kann meist orthonormal gewählt werden.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Spektrale Ausrichtung: Ein Operator A erfüllt A|a_i⟩ = a_i|a_i⟩, sodass die Darstellung von Vektoren in der Eigenbasis zu einer diagonalen Wirkung von A führt und Dynamik oder Messungen vereinfachen kann.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Die Hamilton-Eigenbasis {|E_n⟩} erfüllt H|E_n⟩=E_n|E_n⟩; wird ein Anfangszustand in dieser Energieeigenbasis dargestellt, erhält jede Amplitude den Zeitfaktor e^{-iE_n t/ħ}, was die Berechnung der Dynamik trivial macht.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Annahme, dass eine vollständige orthonormale Eigenbasis für nicht normale oder defekte Operatoren existiert, oder die Vernachlässigung der Entartungsstruktur, sodass Eigenvektoren inkonsistent innerhalb entarteter Unterräume gewählt werden.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Diagonale Darstellung des Operators, direkte Interpretation von Messergebnissen als Eigenwerte und vereinfachte Propagation, wenn der Operator mit dem Evolutionsgenerator kommutiert.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Wahl einer beliebigen, nicht am Operator ausgerichteten Basis, so dass der Operator nicht diagonal ist und Komponenten vermischt; für kontinuierliche Spektren müssen verallgemeinerte Eigenvektoren anders behandelt werden.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Setzt spektrale Zerlegung des Operators voraus: für hermitesche und normale Operatoren existiert eine orthonormale Eigenbasis (gegebenenfalls mit kontinuierlichem Spektrum); nicht diagonaliserbare Operatoren benötigen Jordanketten und besitzen keine vollständige orthonormale Eigenbasis.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung gegenüber der computationalen oder Messbasis: die Eigenbasis ist operatorspezifisch und kann von der kanonischen computationalen Basis abweichen; sie steht auch im Gegensatz zu biorthogonalen Basen bei nicht-hermiteschen Operatoren.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine an den Operator gebundene Basis aus dessen Eigenvektoren, die dessen Wirkung diagonalisiert und das natürliche Koordinatensystem für Messungen und Dynamik liefert.