##  [Ortsbasis](/de/node/50634) 

 Definition

Die kontinuierliche Menge verallgemeinerter Eigenzustände |x⟩ des Ortsoperators, die ⟨x|x'⟩ = δ(x−x') und ∫ dx |x⟩⟨x| = I erfüllen; daraus folgt die Ortsraum-Wellenfunktion ψ(x)=⟨x|ψ⟩ und die Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ(x)|^2.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Spektralrepräsentation des Ortsoperators: Der selbstadjungierte Ortsoperator hat ein kontinuierliches Spektrum und seine verallgemeinerten Eigenkets bilden eine delta-normalisierte Auflösung der Identität und liefern die Ortsdarstellung von Zuständen und Operatoren.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Ein Teilchen auf der reellen Achse besitzt die Ortsbasis {|x⟩ : x ∈ ℝ}, so dass ein normalisiertes Wellenpaket ψ(x) die Wahrscheinlichkeit angibt, das Teilchen in dx zu finden, als |ψ(x)|^2 dx; die Schrödingergleichung erscheint als Differentialgleichung in ψ(x).

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

|x⟩ als normalisierbaren physischen Zustand zu behandeln oder die benötigte mathematische Strenge für delta-normalisierte Kets zu ignorieren; |x⟩ anstelle physikalisch lokaliserter Wellenpakete zu setzen und somit falsche Schlüsse über energieendliche Eigenzustände zu ziehen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ermöglicht die Ortsraum-Darstellung von Operatoren (z. B. Impuls als −iħ∂/∂x) und die direkte Berechnung von Ortswahrscheinlichkeiten und Erwartungswerten mittels Integralen über |ψ(x)|^2.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Verwendung einer diskreten Ortsbasis auf einem Gitter oder der Impuls-/Energieeigenbasis; auf einem Gitter wird die kontinuierliche Delta-Normalisierung durch Kronecker-Delta und Summen ersetzt.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Lebt formal im rigged Hilbert Space: |x⟩ sind keine normalisierbaren Elemente des Hilbertraums, sondern Distributionen; es erfordert sorgfältige Behandlung von Definitionsbereichen, Randbedingungen und Maßen bei mehrdimensionalen oder gekrümmten Konfigurationsräumen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen den formal delta-normalisierten Ortskets und physikalisch lokalisierten Zuständen (Wellenpaketen); ebenso zwischen der Ortsdarstellung und anderen Darstellungen (Impuls, Energie), die für ein gegebenes Problem praktischer sein können.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine formale kontinuierliche Basis verallgemeinerter Eigenzustände des Ortsoperators, die die Ortsraum-Wellenfunktion liefert und die Identität durch Integration auflöst, wodurch Wahrscheinlichkeitsdichten und differentielle Operatordarstellungen von Observablen möglich werden.