## [Entarteter Unterraum](/de/node/50640) Definition Der lineare Unterraum, der von allen Eigenzuständen eines Operators aufgespannt wird, die denselben Eigenwert teilen; innerhalb dieses Unterraums ist jede orthonormale Basis eine gültige Menge von Eigenvektoren zu diesem Eigenwert. ## Prinzip Prinzip Entartung entsteht, wenn Symmetrie oder Parametereinstellungen zur Wiederholung eines Eigenwerts führen; der Operator wirkt als Skalar auf dem Unterraum, und physikalische Observablen oder Störungen wählen bevorzugte Basen in ihm aus. ## Demonstration Demonstration Für einen rotationssymmetrischen Hamiltonoperator sind Energieniveaus, die durch den Gesamtwinkelimpuls j gekennzeichnet sind, in Abwesenheit von Symmetriebrechung (2j+1)-fach entartet; der entartete Unterraum wird von den m=-j..+j-Zuständen aufgespannt. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Annahme, Entartung bedeute physikalische Ununterscheidbarkeit aller Basiszustände; das Unterlassen der Diagonalisierung einer Störung innerhalb des entarteten Unterraums kann zu falschen Vorhersagen über Niveauaufspaltung und Übergangsamplituden führen. ## Konsequenz Konsequenz Entartete Unterräume erfordern die Wahl einer physikalisch sinnvollen Basis (z. B. gemeinsame Eigenzustände kommutierender Observablen oder Diagonalisierung von Störungen); Störungen heben typischerweise die Entartung auf und erzeugen Aufspaltungen, die durch Matrixelemente innerhalb des Unterraums bestimmt werden. ## Umkehrung Umkehrung Ein nicht entarteter Eigenwert definiert einen eindimensionalen invarianten Unterraum, der den Eigenvektor bis auf eine Phase festlegt und damit die interne Basisfreiheit entarteter Unterräume entfernt. ## Abgrenzung Abgrenzung Entartung ist operatorspezifisch und kann durch Änderung des Operators, der Randbedingungen, der Wechselwirkungen oder durch Symmetriebrechungsfelder aufgehoben werden; nahe Entartung (kleine Lücken) verhält sich in der Störungstheorie anders als exakte Entartung. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Unterscheide symmetriegeschützte (strukturierte) Entartung von zufälliger Entartung; unterscheide exakte Entartung von nahezu-Entartung und die Entartung eines Operators von gemeinsamer Entartung mehrerer kommutierender Operatoren. ## Synthese Synthese Ein entarteter Unterraum ist der invariante Vektorraum, der mit einem mehrfachen Eigenwert assoziiert ist; seine interne Basisfreiheit kodiert physikalische Wahlentscheidungen, die durch Symmetrie, Messung oder Störung festgelegt werden, und ist für korrekte spektrale und dynamische Vorhersagen wesentlich.