## [Wahrscheinlichkeitsdichte](/de/node/50648) Definition Die nichtnegative Funktion ρ(x,t)=|ψ(x,t)|^2, die die Wahrscheinlichkeit pro Volumeneinheit angibt, ein Quantenteilchen zur Position x und Zeit t im Ortsraum zu finden; allgemein die Diagonale eines Dichtungsoperators in einer gewählten Basis. ## Prinzip Prinzip Bornsche Regel: Der Betragquadrat der Wellenfunktion (oder das diagonale Matrixelement des Dichtungsoperators) liefert Wahrscheinlichkeiten für Messergebnisse in der zugehörigen Basis. ## Demonstration Demonstration Für ein durch ψ(x,t) beschriebenes Teilchen ist die Wahrscheinlichkeit, es in Gebiet R zu finden, P(R,t)=∫_R |ψ(x,t)|^2 dx. Beispiel: Bei einer normierten Gaußkurve mit Zentrum x0 und Breite σ beträgt die Wahrscheinlichkeit innerhalb ±σ ungefähr erf(1/√2)≈0,68. ## Fehlanwendung Fehlanwendung ψ(x,t) selbst als Wahrscheinlichkeit zu deuten oder |ψ|^2 für inkompatible Observablen zu verwenden (z. B. Ortsdichte als Impulsdichte zu behandeln ohne Zustandsumrechnung) führt zu falschen Ergebnissen; negative Werte für ρ sind nicht zulässig. ## Konsequenz Konsequenz Die Wahrscheinlichkeitsdichte ermöglicht Rechnung von Erwartungswerten, Varianzen und Übergangswahrscheinlichkeiten; die Normierung von ρ stellt sicher, dass die Wahrscheinlichkeiten zu eins aufsummiert werden und stützt statistische Vorhersagen. ## Umkehrung Umkehrung Das komplementäre Konzept ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude ψ: während ρ reell und nichtnegativ ist, trägt ψ die Phaseninformation, die für Ströme und Interferenz notwendig ist; Vernachlässigung dieser Information verliert dynamische Details. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für Ortsmessungen und diagonale Elemente von Dichtungsoperatoren in beliebigen orthonormierten Basen; schließt quasawahrscheinlichkeiten (z. B. Wigner-Funktion), die negativ sein können, und distributionelle Objekte, die keine echten Wahrscheinlichkeitsdichten sind, aus. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zwischen der direkt messbaren Wahrscheinlichkeitsdichte und formalen Dichten aus verallgemeinerten Eigenzuständen oder Distributionen; auch Spannung zwischen Ensemble-Interpretation (Frequenz) und Einzelfall-Perspektive. ## Synthese Synthese Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist die Bornschen Regel folgende Abbildung von Quantenzuständen in reelle nichtnegative Dichten in einer Basis: sie liefert messbare Wahrscheinlichkeiten, muss für kontinuierliche Spektren angemessen interpretiert werden und ergänzt die Amplitude, welche Phase und Interferenz enthält.