##  [Beobachtbare Größe](/de/node/50666) 

 Definition

Eine physikalische Größe in der Quantenmechanik, die mathematisch durch einen Operator (im Standardfall durch einen selbstadjungierten Operator) auf dem Hilbertraum des Systems dargestellt wird; Messergebnisse entsprechen Werten im Spektrum dieses Operators, und die Messstatistik wird durch das Spektralmaß des Operators in Verbindung mit dem Zustand bestimmt.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Messbare Größen werden durch Operatoren repräsentiert, deren spektrale Eigenschaften mögliche Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten festlegen; die Zuordnung von physikalischer Messung zu mathematischem Operator muss reelle Ausgänge und Kompositionsregeln (Vertauschungsrelationen) erhalten.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Ort und Impuls werden durch den Ortsoperator x bzw. den Impulsoperator p auf L2(R) modelliert; für ein Spin-1/2-System repräsentiert die Pauli-Z-Matrix das Observable 'Spin entlang z', dessen Eigenwerte ±ħ/2 die möglichen Messergebnisse liefern.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Jeden beliebigen linearen Operator unabhängig von Spektral- oder Definitionsbereichsfragen als Observable zu bezeichnen oder den Erwartungswert eines Operators als einzelnes, determiniertes Messergebnis für ein Individuumsystem zu interpretieren.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ist ein Observable korrekt angegeben (typischerweise selbstadjungiert), so erhält man eine Spektralzerlegung, die mögliche Messwerte liefert, Wahrscheinlichkeiten gemäß der Born-Regel und ein Rahmenwerk zur Berechnung von Erwartungswerten, Varianzen und Vertauschungsrelationen, die die Unsicherheit bestimmen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Zustände als Observables zu betrachten (z. B. Dichtematrizen als primäre Messgrößen) oder Messungen ausschließlich durch Zustandsvektoren zu repräsentieren, kehrt die übliche operatorzentrierte Zuordnung messbarer Größen um.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Dieser Eintrag setzt das Hilbertraumgerüst der Quantenmechanik voraus; verallgemeinerte Messungen, beschrieben durch positive Operatorwertige Maße (POVMs), erweitern den Observable-Begriff über einzelne selbstadjungierte Operatoren hinaus; in unendlich-dimensionalen Räumen können Definitionsbereichs- und Selbstadjungiertheitsfragen bestimmte formal hermitesche Ausdrücke ausschließen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Lehrbücher setzen oft 'Observable' = 'hermitescher Operator' zur Vereinfachung, doch in der strengen Behandlung ist Selbstadjungiertheit erforderlich; es besteht eine Spannung zwischen der operationalen Messprozedur und den mathematischen Anforderungen einer Spektralmaße.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein Observable ist die mathematische Darstellung einer messbaren physikalischen Größe durch einen Operator, dessen Spektrum und Spektralmaß die möglichen Ergebnisse und deren Wahrscheinlichkeiten bestimmen; operationelle Verallgemeinerungen (POVMs) erweitern dieses Grundkonzept, wenn ein einzelner selbstadjungierter Operator nicht ausreicht.