## [Positiver Operator](/de/node/50704) Definition Ein selbstadjungierter Operator A auf einem Hilbertraum ist positiv (A ≥ 0), wenn ⟨ψ|A|ψ⟩ ≥ 0 für alle Vektoren ψ in seinem Definitionsbereich; äquivalent hat A ein nicht-negatives Spektrum und besitzt eine eindeutige positive Quadratwurzel A = B†B, falls A beschränkt und selbstadjungiert ist. ## Prinzip Prinzip Positivität verleiht dem Raum selbstadjungierter Operatoren eine Ordnungsstruktur: Summen und unitäre Konjugationen erhalten Positivität, Funktionalrechnung liefert monotone Funktionen auf dem Spektrum, und positive Operatoren haben spektrale Zerlegungen mit nicht-negativen Eigenwerten oder Spektralmaßen. ## Demonstration Demonstration Beispiele: Dichtematrizen ρ, die Quantenzustände repräsentieren, sind positiv mit tr(ρ)=1; Projektoren P = P† = P^2 sind positive Idempotente; thermische Zustände e^{-βH} (für selbstadjungiertes H und β≥0) sind positiv und oft spurklassig. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Positivität mit elementweiser (matrix-)Nichtnegativität zu verwechseln ist ein häufiger Fehler; die Annahme, dass das Produkt zweier positiver Operatoren positiv ist, ist ohne Vertauschung falsch — AB muss nicht selbstadjungiert oder positiv sein, außer A und B kommutieren und sind simultan diagonalisiert. ## Konsequenz Konsequenz Positive Operatoren bilden die Grundlage für physikalische Observablen mit nicht-negativen Erwartungswerten (Wahrscheinlichkeiten, Dichten), erlauben Quadratwurzeln und Reinigungskonstruktionen und liefern Einschränkungen, die in semidefiniten Programmierungen und Operatorungleichungen verwendet werden. ## Umkehrung Umkehrung Die Umkehr ist ein indefiniter oder vorzeichenwechselnder selbstadjungierter Operator mit positiven und negativen Spektralanteilen; solche Operatoren besitzen keine positive Quadratwurzel und liefern Erwartungswerte wechselnden Vorzeichens abhängig vom Zustand. ## Abgrenzung Abgrenzung Positivität ist für selbstadjungierte Operatoren (oder Formen) auf ihrem Definitionsbereich definiert; strikt positiv (positiv definit) bedeutet ⟨ψ|A|ψ⟩ > 0 für alle nicht nullen ψ. Positivität von Abbildungen (vollständig positive Karten) ist eine eigenständige Idee und nicht mit Operatorpositivität zu verwechseln. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zwischen Operatorpositivität und elementweiser Matrixpositivität sowie zwischen positiv semidefinit (Nulleigenschaften erlaubt) und strikt positiv; Positivität eines Operators und Positivitätserhaltung durch Karten (Kanäle) sind verwandt, aber unterschiedliche Konzepte. ## Synthese Synthese Ein positiver Operator ist ein selbstadjungierter Operator, dessen quadratische Form auf dem Definitionsbereich nicht-negativ ist, bzw. ein Operator mit nicht-negativem Spektrum; er bildet eine ordnungsstrukturierte, physikalisch relevante Klasse von Operatoren für Zustände, Observablen und konvexe Ungleichungen.