##  [Positiv Semidefiniter Operator](/de/node/50706) 

 Definition

Ein hermitescher (selbstadjungierter) linearer Operator A auf einem Hilbertraum, sodass für jeden Vektor |ψ⟩ der Erwartungswert ⟨ψ|A|ψ⟩ nichtnegativ ist; äquivalent haben alle Eigenwerte von A den Wert ≥ 0.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Prinzip der Positivität quadratischer Formen: A ist genau dann positiv semidefinit, wenn er eine nichtnegative sesquilineare Form erzeugt, was nichtnegative Mess-Erwartungswerte und eine Zerlegung in nichtnegative Eigenwerte sichert.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Eine Dichtematrix ρ, die einen Quantenzustand beschreibt, ist positiv semidefinit: für beliebige |ψ⟩ gilt ⟨ψ|ρ|ψ⟩ ≥ 0. Beispielsweise hat ein Qubit mit ρ = [[1/2,0],[0,1/2]] die Eigenwerte 1/2 und 1/2, also ist ρ positiv semidefinit.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Zu glauben, eine Matrix mit ausschließlich nichtnegativen Einträgen sei automatisch positiv semidefinit: Einträge ≥ 0 implizieren nicht notwendigerweise ⟨ψ|A|ψ⟩ ≥ 0 für alle |ψ⟩. Ebenfalls zu unterscheiden ist positiv semidefinit und positiv definit (letzteres verlangt strikte Positivität für alle nichtnull Vektoren).

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Positiv semidefinite Operatoren können als gültige Quantenwirkungen und Zustandsmatrizen dienen; sie besitzen Quadratwurzeln und Cholesky-ähnliche Zerlegungen und verhalten sich gut unter vollständig positiven Abbildungen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Umkehrung ist ein negativ semidefiniter Operator, bei dem ⟨ψ|A|ψ⟩ ≤ 0 für alle |ψ⟩ gilt; das Vorzeichen eines positiv semidefiniten Operators umzudrehen erzeugt ein solches negatives Objekt und entzieht ihm die Eignung als Effekt oder Zustand.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Der Begriff gilt nur für lineare hermitesche Operatoren auf innerproduktbasierten Räumen; ausgenommen sind nicht-hermitesche Operatoren, unbestimmte (indefinite) hermitesche Operatoren und lediglich elementweise nichtnegative Matrizen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Semantische Spannung besteht zwischen 'positiv' im spektralen Sinn (Eigenwerte ≥ 0) und 'positiv' im Sinn der Matrixelemente, sowie zwischen 'semidefinit' (Null-Eigenwerte erlaubt) und 'definit' (strikt positiv).

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein positiv semidefiniter Operator ist ein hermitescher Operator, dessen quadratische Form niemals negative Werte annimmt; diese spektrale Nichtnegativität ist die mathematische Bedingung dafür, dass der Operator als Dichteoperator, Effekt oder Mess-/Dynamikkomponente verwendbar ist.