##  [Stinespring-Dilatation](/de/node/50726) 

 Definition

Ein Darstellungssatz, der jede vollständig positive lineare Abbildung Φ zwischen Operatoralgebren als isometrische Einbettung in einen größeren Hilbertraum gefolgt von einer partiellen Spur über eine Hilfsumgebung darstellt: Es existiert ein Hilbertraum E und eine Isometrie V: H → K ⊗ E mit Φ(ρ)=Tr_E[VρV†]. In endlichen Dimensionen kann V als Isometrie gewählt werden; die Dilatation ist minimal und bis auf eine Einheitäre auf der Ancilla eindeutig.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Vollständig positive Abbildungen werden als unitäre/isometrische Wechselwirkung mit einer Umgebung plus Wegwerfen organisiert: nichtunitäre Systementwicklung entsteht durch Einbettung in reversible Dynamik auf einem erweiterten Raum und partielles Spurziehen der Ancilla.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Der Amplituden-Dämpfungs-Kanal für ein Qubit lässt sich realisieren, indem man ein Ancilla-Qubit in |0〉 vorbereitet, eine Isometrie V anwendet, die |0〉_S⊗|0〉_A ↦ |0〉_S⊗|0〉_A und |1〉_S⊗|0〉_A ↦ √{1-γ}|1〉_S⊗|0〉_A + √{γ}|0〉_S⊗|1〉_A abbildet, und anschließend das Ancilla weglässt (Tr_E).

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Anzunehmen, die Stinespring-Isometrie sei absolut eindeutig oder die Ancilla-Dimension sei ohne Berücksichtigung der unitären Freiheit auf der Umgebung festgelegt; oder den Satz auf nicht vollständig positive Abbildungen anzuwenden (bloße Positivität reicht nicht).

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ermöglicht ein konstruktives physikalisches Modell für jede CP-Abbildung, bildet die Grundlage für Schaltungsimplementierungen von Kanälen und liefert Werkzeuge für Kontinuitätsfragen, Normabschätzungen und strukturelle Folgerungen (z. B. Komposition und komplementäre Kanäle).

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Demgegenüber steht die Auffassung, Kanäle als primitive nichtunitäre Abbildungen ohne Einbettung in größere reversible Dynamik zu betrachten; die Umkehr ist die Sichtweise, dass eine Abbildung nicht in einer unitären Entwicklung eingebettet sein muss, um gültig zu sein.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für lineare vollständig positive Abbildungen zwischen Operatoralgebren (typischerweise B(H)→B(K)); in unendlichen Dimensionen sind Definitionsfragen zu beachten und eventuell nichtseparable Ancillas nötig; nicht vollständig positive oder nichtlineare Abbildungen sind ausgeschlossen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen der Stinespring-Sicht (Umgebung/Isometrie) und alternativen Darstellungen wie Kraus-Zerlegung oder Choi-Operator: alle sind äquivalent, betonen aber unterschiedliche Aspekte (Umgebung vs. Operator-Summe vs. Matrizenform).

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die Stinespring-Dilatation besagt, dass jede vollständig positive Abbildung durch eine isometrische Einbettung des Systems in einen größeren Hilbertraum gefolgt von partieller Spur dargestellt werden kann: das verbindet reversible physikalische Dynamik im erweiterten Raum mit effektiver nichtunitärer Dynamik des Systems.