##  [Choi-Matrix](/de/node/50728) 

 Definition

Der bipartite Operator, der aus einer linearen Abbildung Λ:B(H)→B(K) gewonnen wird, indem Λ auf die eine Hälfte eines (meist maximal verschränkten) Operators angewendet wird: J(Λ)=(id_H ⊗ Λ)(|Φ⟩⟨Φ|), wobei |Φ⟩ der kanonische (normierte oder nicht normierte, je nach Konvention) maximal verschränkte Vektor auf H⊗H ist. Die Choi-Matrix kodiert vollständige Positivität: Λ ist CP genau dann, wenn J(Λ) positiv semidefinit ist.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Eigenschaften linearer Abbildungen in Eigenschaften von Operatoren auf dem Tensorprodukt übersetzen: Positivität der Choi-Matrix charakterisiert vollständige Positivität; partielle Spuren von J(Λ) drücken Spur-erhaltende oder unital-Einschränkungen aus.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für den Identitätskanal Id_H ist die Choi-Matrix der Projektor auf den maximal verschränkten Zustand; für den vollständigen Depolarisierungs-Kanal ist die Choi-Matrix proportional zum maximal gemischten Operator auf H⊗K.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Den Choi-Kriterium anwenden, ohne Basis-/Konventionsentscheidungen zu beachten (normierter vs. unnormierter |Φ⟩ oder Transpositionskonventionen) oder den Positivitätstest auf Abbildungen in unendlichen Dimensionen ohne Domänenkontrolle anzuwenden.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Wandelt Kanalverifikation und Tomographie in zustandsbasierte Aufgaben um, ermöglicht semidefinite Programmformulierungen für Kanäle und verknüpft Kanaleigenschaften wie Verschränkung direkt mit der Operator-Verschränkung der Choi-Matrix.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Statt Abbildungen in Operatoren zu übersetzen, kann man Superoperator-Darstellungen oder Kraus-Zerlegungen als primitiv betrachten; die Umkehr besteht darin, die lineare Abbildung selbst zu analysieren statt ihres Choi-Operators.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Standardkonstruktion in endlichen Dimensionen zwischen Eingangsraum gleicher Dimension H (oder mit geeigneter Referenzbasis); bei unendlichen Hilberträumen, nicht vollständig positiven Abbildungen oder verschiedenen Eingangs- und Referenzräumen treten Subtilitäten auf.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zu anderen Matrix-Umordnungen (Reshuffling, natürliche Darstellung, dynamische Matrix): unterschiedliche Konventionen liefern verwandte Matrizen, die sich durch Transposition oder Umordnung unterscheiden, aber dieselben Informationen enthalten.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die Choi-Matrix ist die Operatorrepräsentation einer linearen Abbildung, die entsteht, indem man die Abbildung auf die eine Hälfte eines maximal verschränkten Zustands anwendet; Positivität und partielle Spuren dieses Operators erfassen vollständige Positivität und Spur-Einschränkungen der ursprünglichen Abbildung.