## [Lüders-Regel](/de/node/50738) Definition Eine konkrete Vorschrift zur Zustandsaktualisierung bei projektiven Messungen mit entarteten Eigenwerten: Nach Beobachtung eines Ergebnisses, das durch einen Projektor P für einen entarteten Eigenraum repräsentiert ist, erhält man den Nachmessungszustand durch Projektieren und Renormieren innerhalb dieses Eigenraums statt durch Auswahl eines einzelnen Eigenvektors. ## Prinzip Prinzip Wende die minimal notwendige Störung an, die mit dem Erhalt des grobgruppierten Ergebnisses vereinbar ist: Aktualisiere durch Projektieren auf den gemessenen Eigenraum, so dass Kohärenz innerhalb dieses Eigenraums erhalten bleibt, während Kohärenz zwischen verschiedenen Eigenräumen entfernt wird. ## Demonstration Demonstration Hat eine Messung ein Ergebnis i mit Projektor P_i, der auf einen k-dimensionalen Eigenraum projiziert, so lautet die Lüders-Regel ρ' = P_i ρ P_i / Tr(P_i ρ). Beispiel: Die Messung des Gesamtspins S^2 zweier Spin-1/2-Teilchen liefert einen Triplet-Eigenraum; nach dem Erhalt des Triplet-Ergebnisses bleibt der Zustand eine Dichtematrix, die auf diesem Triplet-Unterraum liegt, statt auf einen einzelnen Triplet-Vektor zu kollabieren. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Lüders-Regel dort anzuwenden, wo die Messwechselwirkung oder das Messgerät eine stärkere, zustandsspezifische Auswahl (von Neumann-Selektion eines Eigenzustands) realisiert, oder sie auf nichtprojektive POVM-Ergebnisse ohne Instrumentenmodell zu übertragen, missachtet die Annahme der minimalen Störung. ## Konsequenz Konsequenz Erhält Kohärenz innerhalb entarteter Eigenräume, liefert richtige bedingte Wahrscheinlichkeiten für nachfolgende Messungen, die innerhalb des Eigenraums wirken, und bietet eine konsistente Aktualisierung bei nur grobkörniger Information. ## Umkehrung Umkehrung Die von Neumann'sche stärkere Projektion auf einen eindimensionalen Eigenzustand ist das Gegenteil: Sie entfernt Kohärenz innerhalb des entarteten Eigenraums und ergibt einen reinen Eigenvektor, wenn das Messgerät Eigenvektoren unterscheidet. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für projektive Messungen mit orthogonalen Projektoren und für idealisierte Messungen, die innerhalb der Eigenräume nicht zerstörerisch sind; sie trifft nicht auf verallgemeinerte Messmodelle ohne orthogonale Projektoren, auf Messungen, die aktiv innerhalb entarteter Unterräume decohärent wirken, oder auf kontinuierliche unscharfe Messungen ohne Anpassung zu. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Es besteht Spannung zwischen der Lüders-Regel als Minimalstörungsvorschrift und der von Neumann-Projektion als maximal selektierender Vorgang: In der Praxis bestimmt das Messgerät und die Wechselwirkung, welche Regel zutrifft, sodass die Wahl ebenso empirisch wie formal ist. ## Synthese Synthese Die Lüders-Regel formalisiert die am wenigsten störende Aktualisierung bei einer projektiven Messung mit Entartung: Bedingt auf ein grobgefasstes Ergebnis wird der Zustand auf den entsprechenden Eigenraum projiziert und renormiert, wobei interne Kohärenz erhalten bleibt und Kohärenz zwischen verschiedenen Eigenräumen entfernt wird.