##  [Stone–von Neumann-Satz](/de/node/50742) 

 Definition

Ein Theorem, das aussagt, dass für kanonische Systeme mit endlicher Zahl von Freiheitsgraden alle irreduziblen regulären Darstellungen der kanonischen Kommutatorrelationen (Weyl-Form der CCR) unitär äquivalent zur Standard-Schrödinger-Darstellung sind; es stellt die Eindeutigkeit (bis auf unitäre Äquivalenz) der Quantisierung unter Regulierheitsannahmen sicher.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Irreduzibilität zusammen mit den Weyl-CCR und einer Regularitätsbedingung erzwingt, dass jede Darstellung unitär äquivalent zur Schrödinger-Darstellung ist, wodurch eine eindeutige quantenkinematische Struktur für Systeme mit endlich vielen kanonischen Freiheitsgraden entsteht.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für einen Freiheitsgrad lassen sich die Weyl-Operatoren W(q,p), die die Weyl-Relation erfüllen, auf L^2(R) durch die üblichen Orts- und Impulsoperatoren darstellen; der Stone–Von Neumann-Satz gewährleistet, dass jede irreduzible reguläre Darstellung dieser Relationen unitär äquivalent zu dieser Schrödinger-Darstellung ist.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Zu behaupten, das Theorem gelte uneingeschränkt in unendlichen Dimensionen (Quantenfeldtheorie) oder Regularitäts-/Stetigkeitsanforderungen zu ignorieren; dadurch zieht man falsche Schlüsse über die Eindeutigkeit von Darstellungen, wenn tatsächlich nicht äquivalente Darstellungen existieren.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Bietet eine solide mathematische Grundlage für die kanonische Quantisierung endlicher Systeme, stützt das übliche Schrödinger-Bild und erklärt, warum alternative Konstruktionen in solchen Systemen zu denselben physikalischen Vorhersagen führen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Bei Systemen mit unendlich vielen Freiheitsgraden kehrt sich das Resultat um: Es existieren in der Regel unendlich viele nicht äquivalente irreduzible Darstellungen der CCR, sodass die Eindeutigkeit versagt und unterschiedliche Darstellungen zu verschiedenen physikalischen Phasen gehören können.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Setzt eine endliche Zahl kanonischer Freiheitsgrade, Irreduzibilität und Regularität (Stetigkeit der Weyl-Operatoren) voraus; schließt unendliche Systeme, Systeme mit topologischen Hürden oder abgeschwächte Regularität aus, in denen nicht äquivalente Darstellungen auftreten.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen der beruhigenden Eindeutigkeit für endliche Systeme durch Stone–Von Neumann und der Vielzahl von Darstellungen in der Quantenfeldtheorie; der Geltungsbereich des Satzes muss geprüft werden, bevor man Eindeutigkeit behauptet.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der Stone–Von Neumann-Satz stellt fest, dass unter Voraussetzungen endlicher Freiheitsgrade und Regularität die Weyl-CCR eine eindeutige irreduzible Darstellung bis auf unitäre Äquivalenz besitzen, wodurch die universelle Nutzung der Schrödinger-Darstellung in solchen Systemen gerechtfertigt wird, während diese Eindeutigkeit in unendlichen Systemen verloren geht.