##  [Gleasons Satz](/de/node/50746) 

 Definition

Ein mathematisches Resultat, das alle Wahrscheinlichkeitsmaße auf dem Verbund (Lattice) der Projektionsoperatoren eines separablen Hilbertraums mit Dimension mindestens drei charakterisiert: Jede Maßfunktion, die nichtnegative Zahlen den Projektoren zuweist und auf paarweise orthogonalen Projektoren additiv ist, muss durch einen Dichtematrixzustand via der Born-Regel entstehen.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Wahrscheinlichkeitszuweisungen im Projektorverbund des Quantenraums werden durch Zustandsoperatoren (Dichtematrizen) geregelt, nicht durch beliebige dispersionfreie Bewertungen; die Struktur des Hilbertraums erzwingt die Born-Regel für Dimensionen ≥ 3.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Betrachte ein dreistufiges Quantensystem (Qutrit). Jede Funktion, die Wahrscheinlichkeiten für eindimensionale Projektoren zuweist und auf jeder orthonormalen Basis zu Eins summiert, lässt sich als Tr(ρP) für eine Dichtematrix ρ darstellen; alternative additive Zuweisungen verletzen die Bedingungen von Gleason.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Gleasons Satz zu verwenden, um direkt über deterministische verborgene Variablen für einzelne projektive Messergebnisse zu argumentieren; der Satz beschränkt Maße, nicht die Existenz kontextabhängiger verborgener Variablen in niedrigdimensionalen oder nichtstandardmäßigen Rahmen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Begründet die Born-Regel als das eindeutige nichtkontextspezifische Wahrscheinlichkeitsprinzip auf dem Projektorverbund für Hilberträume mit Dimension ≥ 3 und stützt die Standardformalismen mit Dichtematrizen für Quantenzustände.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Erlaubt man nichtadditive oder kontextabhängige Wahrscheinlichkeitszuweisungen oder betrachtet man zweidimensionale Hilberträume, so gilt die Aussage, dass alle Maße durch Dichtematrizen gegeben sind, nicht mehr.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für Maße auf dem Verbund orthogonaler Projektoren in Hilberträumen der Dimension drei oder mehr; deckt keine POVMs außerhalb des Projektorverbunds, klassische Wahrscheinlichkeitsräume oder spezielle Zwei-Dimensional-Fälle ohne zusätzliche Annahmen ab.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Steht im Spannungsverhältnis zu Auffassungen, die Wahrscheinlichkeiten als rein epistemische Grade des Glaubens betrachten und beliebige Zuweisungen erlauben; Gleasons Satz beschränkt die objektive Struktur, entscheidet aber nicht allein die Interpretationsfrage Ontisch versus Epistemisch.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Gleasons Satz verbindet die algebraische Struktur der Projektoren im Hilbertraum mit der analytischen Darstellung von Zuständen: Werden Wahrscheinlichkeitsmaße auf orthogonalen Projektoren in Dimension ≥ 3 additiv gefordert, so ergeben sie sich aus Dichtematrizen durch die Born-Regel und schränken damit konsistente Wahrscheinlichkeitszuweisungen in der Quantenmechanik ein.