##  [Hamilton-Operator](/de/node/50756) 

 Definition

Ein linearer, selbstadjungierter Operator auf dem Hilbertraum eines Systems, dessen Spektrum den Energie-Werten des Systems entspricht und der die Zeitentwicklung über die Schrödingergleichung erzeugt; üblicherweise mit H bezeichnet und auf Zustandsvektoren oder Wellenfunktionen wirkend.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Der Hamiltonoperator ist hermitesch (H = H†), daher sind seine Eigenwerte reell, und er lässt sich zu einem unitären Zeitentwicklungsoperator U(t)=exp(-iHt/ħ) exponentieren; er fasst kinetische und potentielle Beiträge zusammen und bildet die erhaltene Gesamtenergie für geschlossene Systeme ab.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für ein nichtrelativistisches Teilchen in einer Dimension gilt H = p^2/(2m) + V(x) mit p = -iħ∂/∂x. Die Lösung von Hψ = Eψ liefert stationäre Energieeigenzustände; in iħ ∂ψ/∂t = Hψ führt ein Eigenzustand zu einer zeitabhängigen Phase e^{-iEt/ħ}.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Jedes als 'Energie' bezeichnete Operator ohne Prüfung auf Selbstadjungiertheit oder Definitionsbereich als Hamiltonoperator zu verwenden, führt zu Problemen: Ein nichtselbstadjungierter H kann nichtphysikalische komplexe Energien oder nichtunitäre Entwicklung erzeugen, sofern nicht ausdrücklich ein offenes System oder ein anderes Formalismus vorliegt.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

In geschlossenen Quantensystemen führt ein gültiger Hamiltonoperator zu reellen Energiespektren, Erhaltung des Erwartungswerts bei zeitunabhängigem H und zur Erzeugung unitärer, reversibler Dynamik; Eigenzustände bilden eine stabile Basis für Spektraldekompositionen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Das Ersetzen des Hamiltonoperators durch nicht-Hermitesche Erzeuger, Lindblad-Superoperatoren oder ungeeignete klassische Hamiltonfunktionen kehrt die Rolle um: statt unitärer Generatoren erhält man dissipative oder phasenraumhafte Flüsse mit geänderten spektralen und dynamischen Eigenschaften.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für geschlossene Quantensysteme auf einem Hilbertraum mit geeignetem Definitionsbereich von H; schließt wirkungslose nicht-Hermitesche Beschreibungen ohne Kennzeichnung, stochastische Erzeuger offener Systeme und nicht quantisierte klassische Hamiltonfunktionen aus.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Hamiltonoperator kann sowohl als Observabler (Energieoperator) als auch als Generator zeitlicher Translationen aufgefasst werden; die Spannung liegt in der Unterscheidung zwischen spektraler Interpretation und dynamischer Rolle sowie zwischen klassischer und quantisierter Darstellung.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der Hamilton-Operator ist der selbstadjungierte Operator, der Energie repräsentiert, messbare Eigenwerte liefert und über iħ∂/∂t = H die unitäre Zeitentwicklung geschlossener Quantenzustände erzeugt.