## [Zeitentwicklungsoperator](/de/node/50758) Definition Der lineare Operator U(t,t0), der Quantenzustände zur Anfangszeit t0 in Zustände zur späteren Zeit t abbildet, so dass |ψ(t)〉 = U(t,t0)|ψ(t0)〉 gilt; für geschlossene Systeme, die von H erzeugt werden, ist U = T exp[-(i/ħ)∫_{t0}^t H(t') dt'], wobei T Zeitordnung bezeichnet. ## Prinzip Prinzip U erfüllt die Kompositionsregel U(t2,t0)=U(t2,t1)U(t1,t0), ist für geschlossene Systeme unitär und wird infinitesimal vom Hamiltonoperator erzeugt durch iħ ∂/∂t U(t,t0) = H(t) U(t,t0) mit U(t0,t0)=I. ## Demonstration Demonstration Für zeitunabhängigen Hamiltonoperator H gilt U(t,t0)=exp[-iH(t-t0)/ħ]; angewandt auf einen Energieeigenzustand |E〉 ergibt sich U|E〉=e^{-iE(t-t0)/ħ}|E〉, was eine einfache Phasenevolution liefert und Übergangsamplituden berechenbar macht. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die einfache Exponentialdarstellung U = exp(-i∫H dt/ħ) ohne Zeitordnung zu verwenden, wenn H(t) zu verschiedenen Zeiten nicht kommutiert, führt zu falschen Ergebnissen; ebenso widerspricht die Anwendung eines nichtunitären U auf ein geschlossenes System der Wahrscheinlichkeitskonservierung. ## Konsequenz Konsequenz Mit dem korrekten U lassen sich Zustandsentwicklungen, Übergangsamplituden und Erwartungswerte zu beliebigen Zeiten berechnen; die Kompositionsregel ermöglicht die Zerlegung in Zwischenzeiten und die Nutzung von Wechselwirkungsbildern. ## Umkehrung Umkehrung Das Ersetzen von U durch eine komplett positive, spurerhaltende Abbildung oder einen dissipativen Superoperator behandelt Dichtematrizen statt unitärer Entwicklung reiner Zustände; dies ist die angemessene Umkehr für offene Systeme und verändert Invertierbarkeit und Gruppenstruktur. ## Abgrenzung Abgrenzung Die Definition setzt eine Abbildung auf dem Hilbertraum des Systems voraus; bei zeitabhängigem H sind Zeitordnung und Definitionsbereich relevant. Für offene Systeme ist U nicht notwendigerweise unitär und man muss Superoperatoren auf Dichtematrizen verwenden. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Der Zeitentwicklungsoperator als unitäre Abbildung steht im konzeptuellen Spannungsverhältnis zu Propagatoren als Kernen (Positionsraumamplituden) und zu klassischen Flussdarstellungen; die Unterscheidung von Operator-, Kern- und Pfadintegralrepräsentationen ist notwendig. ## Synthese Synthese Der Zeitentwicklungsoperator ist die unitäre (für geschlossene Systeme) lineare Abbildung, vom Hamiltonoperator erzeugt, die sich in der Zeit komponiert, die Dynamik kodiert und Zustände zu späteren Zeiten liefert.