## [Master-Gleichung](/de/node/50926) Definition Eine Master-Gleichung ist eine dynamische Gleichung, die die zeitliche Entwicklung des reduzierten Dichtematrix-Operators eines Systems beschreibt und sowohl unitäre als auch nicht‑unitäre (dissipative oder decoherente) Effekte berücksichtigt, die durch Kopplung an eine Umgebung oder durch stochastische Prozesse entstehen. ## Prinzip Prinzip Die ordnende Regel lautet, dass die zeitliche Ableitung der reduzierten Dichtematrix einem Superoperator (dem Generator) entspricht, der auf diese Matrix wirkt; dieser kann zeitlokal oder zeitnichtlokal sein und muss physikalische Bedingungen (Spur, Positivität, Hermitizität) unter den getroffenen Annahmen wahren. ## Demonstration Demonstration Bei einem offenen Zwei-Niveau-Atom, das schwach an ein breitbandiges elektromagnetisches Reservoir gekoppelt ist, enthält die Master-Gleichung für ρ(t) einen Hamilton‑Kommutator −i[H,ρ] sowie Dissipatoren, die exponentielle Relaxation der angeregten Population und Abklingen der Kohärenzen bewirken. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Jede Populations-Rate-Gleichung einfach als quantenmechanische Master-Gleichung zu behandeln, ohne zu prüfen, ob die Abbildung vollständig positiv und spur-erhaltend ist, oder einen zeitlokalen Generator aus schwacher Kopplung auf ein stark gekoppelte, strukturiertes Bad anzuwenden, führt zu unphysikalischen Vorhersagen (negative Populationswerte, nicht zulässige Kohärenzen). ## Konsequenz Konsequenz Korrekt unter ihren Annahmen abgeleitet, liefert die Master-Gleichung eine kompakte, häufig lösbare Beschreibung von Relaxation, Dekohärenz und stationären Zuständen und ermöglicht die Berechnung von Observablen, Zerfallsraten und thermodynamischen Flüssen, ohne die gesamte Umgebung zu verfolgen. ## Umkehrung Umkehrung Die Umkehr ist die unitäre Entwicklung eines geschlossenen Systems, beschrieben durch die von‑Neumann‑Gleichung dρ/dt = −i[H,ρ], die dissipative Terme weglässt und irreversible Kohärenzverluste oder Energieaustausch mit einem Reservoir nicht abbildet. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für reduzierte Zustände offener Quantensysteme; ausgeschlossen sind Beschreibungen, die eine explizite Modellierung aller Umgebungsfreiheitsgrade erfordern; versagt bei dominanten Anfangskorrelationen, starker Kopplung oder langen Gedächtniszeiten. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Unterscheidet sich von klassischen Master‑Rate‑Gleichungen: Quantenmastergleichungen wirken auf Dichtematrizen und müssen vollständige Positivität und Kohärenzdynamik gewährleisten; zudem besteht Spannung zwischen zeitlokalen (Markov) und nichtlokalen Formen für nicht‑Markov‑Dynamik. ## Synthese Synthese Die Master‑Gleichung ist das reduzierte Zustandsdynamikgesetz — unter klaren Annahmen abgeleitet — das Hamilton‑Evolution mit umgebungsinduzierten dissipativen Superoperatoren verbindet, um die Zeitentwicklung von Populations- und Kohärenzkomponenten vorherzusagen.