##  [Zentralpotential](/de/node/51016) 

 Definition

Eine skalare Potenzialfunktion V(r) im dreidimensionalen Raum, die nur vom Abstand r zu einem festen Ursprung abhängt; sie ist rotationsinvariant und erzeugt Kräfte entlang der radialen Richtung.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Kugelsymmetrie: Die Invarianz unter dem Rotationsgruppe reduziert die Dynamik auf radiales Verhalten bei gleichzeitigem Erhalt des Drehimpulses, was die Trennung der Variablen in Kugelkoordinaten ermöglicht.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Das Coulomb-Potenzial V(r) = -k/r für das Elektron im Wasserstoffatom ist ein Zentralpotential; die Lösung der Schrödingergleichung liefert Energiewerte und Drehimpulsquantenzahlen, die die Rotationssymmetrie widerspiegeln.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Ein Potential, das von den Winkeln abhängt oder anisotrope Terme enthält, fälschlich als Zentralpotential zu behandeln; dies führt zu falschen Vorhersagen über den Erhalt des Drehimpulses und zu nicht existierenden Entartungen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Bei einem Zentralpotential trennt sich die Schrödingergleichung in einen Winkelteil (Kugelflächenfunktionen) und einen radialen Teil, was die Erhaltung von L^2 und L_z sowie charakteristische Entartungen nach sich zieht.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Ein nicht-zentrales Potential (mit Winkelabhängigkeit) bricht die Rotationssymmetrie, verhindert die vollständige Trennung in radiale und Winkelgleichungen und hebt in der Regel Entartungen des Drehimpulses auf.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt nur für skalare Potentiale V, die ausschließlich von r abhängen; schließt Vektorpotentiale, ortsabhängige Massen, anisotrope Medien und externe Felder, die Richtungen bevorzugen, aus.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Der Ausdruck 'Zentralpotential' betont die r‑Abhängigkeit (eine skalare Eigenschaft), während 'Zentralfeld' oder 'zentrale Kraft' den radial gerichteten Kraftvektor hervorheben; bei geschwindigkeitsabhängigen Wechselwirkungen entstehen Unterschiede.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein Zentralpotential ist die Klasse sphärisch symmetrischer skalaren Potentiale V(r), deren Rotationsinvarianz die quantendynamik durch Erhalt des Drehimpulses und Entkopplung von Winkel- und Radialbewegung vereinfacht und so die Lösbarkeit und die Spektralstruktur beeinflusst.