##  [WKB-Approximation](/de/node/51050) 

 Definition

Eine semiclassische Methode zur Lösung linearer Differentialgleichungen (insbesondere der eindimensionalen Schrödingergleichung), indem man Wellenfunktionen in exponentieller Form mit einer in Potenzen von ħ expandierten Wirkung sucht und so führendes klassisches Phasenverhalten und höhere Korrekturen erhält.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Annahme von Lösungen ψ(x)=exp[(i/ħ)S(x)] und Entwicklung S(x)=S0(x)+ħ S1(x)+…; der führende Term erfüllt die Hamilton–Jacobi-Gleichung und ergibt die lokale Wellenzahl k(x)=√{2m(E−V(x))}/ħ, wenn das Potential sich auf einer Länge, die größer als die Wellenlänge ist, langsam ändert.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für ein Teilchen in einem langsam veränderlichen 1D-Potential liefert WKB ψ(x)≈C/√{k(x)} exp(± i ∫^x k(x') dx') in klassisch erlaubten Bereichen und ψ(x)≈C'/√{κ(x)} exp(± ∫^x κ(x') dx') in verbotenen Bereichen, was Tunnelexponentialfaktoren und Bohr–Sommerfeld-Quantisierungsbedingungen mit Verbindungsformeln an Wendepunkten erzeugt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die naive WKB-Anwendung durch Wendepunkte oder wenn das Potential auf der Skala der de-Broglie-Wellenlänge variiert, oder die Anwendung wenn ħ nicht effektiv klein gegenüber Aktionsunterschieden ist, führt zu numerisch schlechten oder qualitativ falschen Ergebnissen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Bietet klare semiclassische Intuition: approximative Eigenwerte durch Quantisierungsregeln, exponentielle Tunneleffekte und Phasenverschiebungen in der Streuung mit expliziten Formeln für führende Amplitude und Phasenkorrekturen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Umkehr ist die exakte Quantenbehandlung oder numerische Lösung, die Diskrepanzen in der Nähe von Wendepunkten auflöst, wo uniforme Approximationen oder Verbindungsformeln die naive WKB ersetzen müssen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt, wenn ħ klein gegenüber der Aktionsskala ist, das Potential glatt auf der Wellenlängenskala ist und Wendepunkte durch Verbindungsformeln behandelt werden; nicht anwendbar bei scharfen Potentialen, entarteten Wendepunkten oder in mehrdimensionalen stark chaotischen Systemen ohne zusätzliche semiclassische Methoden.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Wird oft mit der semiclassical approximation gleichgesetzt; WKB ist jedoch eine spezifische eindimensionale semiclassische Entwicklung; in höheren Dimensionen oder bei Pfadintegralen sind allgemeinere semiclassische Werkzeuge erforderlich, etwa stationäre Phase oder Maslov-Indizes.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

WKB ist eine kontrollierte semiclassische Entwicklung, die Wellenfunktionen als Exponentialfunktionen einer Wirkungsreihe darstellt, die die Hamilton–Jacobi-Klassik mit quantenmechanischen Amplituden verbindet und Quantisierung sowie Tunneleffekte vorhersagt, wenn die Anwendbarkeitsbedingungen erfüllt sind.