##  [Bloch-Vektor](/de/node/51076) 

 Definition

Ein dreikomponentiger reeller Vektor r ∈ R^3, der eine Einkubit-Dichtematrix ρ durch ρ = (I + r·σ)/2 darstellt, wobei σ = (σ_x, σ_y, σ_z) die Pauli-Matrizen sind; die Länge |r|≤1 gibt die Reinheit an und die Richtung die Erwartungswerte der Pauli‑Operatoren.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Abbildung des hermiteschen 2×2-Dichteoperators auf einen reellen euklidischen Vektor durch r_i = Tr(ρ σ_i); dieses lineare Isomorphismus zwischen Qubit‑Dichtematrizen und der Bloch‑Kugel organisiert Zustandsgrößen (Reinheit, Populationen, Kohärenzen) geometrisch.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für den reinen Zustand |0⟩⟨0| gilt r = (0,0,1); für |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2 ist r = (1,0,0). Ein gemischter Zustand ρ = p|0⟩⟨0| + (1−p)I/2 hat r = (0,0,2p−1) mit |r| = |2p−1|.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Verwendung eines beliebigen dreikomponentigen Vektors als physikalischen Bloch‑Vektor ohne Prüfung von |r|≤1 und der positiven Semidefinitheit von ρ führt zu unphysikalischen Zuständen (negative Eigenwerte) und falschen Vorhersagen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Richtige Anwendung erlaubt unmittelbare Berechnung von Erwartungswerten Tr(ρ σ_i)=r_i, liefert ein Maß für Reinheit (Tr ρ^2 = (1+|r|^2)/2) und eine kompakte geometrische Darstellung für Einkubit‑Dynamik und Dekohärenz als Trajektorien in der Bloch‑Kugel.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Statt die Dichtematrix durch r darzustellen, kann man einen reinen Zustand durch einen normierten Vektor in C^2 repräsentieren, der die globale Phase behält; die Umwandlung in r verwirft die globale Phase und kann phasenäquivalente Kets nicht unterscheiden.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt nur für Zweiniveausysteme (Qubit) beschrieben durch 2×2‑Dichtematrizen; höherdimensionale Systeme benötigen verallgemeinerte Bloch‑Vektoren in R^{d^2−1} mit anderen Einschränkungen und weniger direkter geometrischer Intuition.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Bloch‑Vektor versus Zustandsvektor: Beide kodieren Quanteninformation eines Qubits, aber der Bloch‑Vektor kodiert nur die Dichtematrix (keine globale Phase) und betont Mixizität, während der Zustandsvektor Phaseninformationen und reine Amplituden enthält.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der Bloch‑Vektor ist die eindeutige dreidimensionale reelle Darstellung einer Qubit‑Dichtematrix durch Pauli‑Erwartungswerte; Richtung bestimmt Messstatistik, Länge bestimmt Reinheit, und er ermöglicht die geometrische Analyse von Einkubit‑Operationen und Rauschen.