##  [Wigner–Eckart-Theorem](/de/node/51098) 

 Definition

Ein Satz, der besagt, dass sich das Matrixelement eines sphärischen Tensoroperators zwischen Drehimpuls-Eigenzuständen in ein reduziertes Matrixelement (unabhängig von den magnetischen Quantenzahlen) und ein Clebsch–Gordan-Koeffizienten (der die m-Abhängigkeit trägt) faktorisieren lässt.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Die Rotationssymmetrie (SU(2)) schränkt die Abhängigkeit von Matrixelementen von den magnetischen Quantenzahlen ein; das Wigner–Eckart-Theorem ordnet die kinematische Winkelabhängigkeit in bekannte geometrische Koeffizienten und isoliert die Dynamik in einem einzelnen reduzierten Matrixelement.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für einen elektrischen Dipoloperator (sphärischer Tensor Rang 1), der zwischen hydrogenähnlichen Zuständen |j,m⟩ und |j',m'⟩ wirkt, gilt ⟨j',m'|T^1_q|j,m⟩ = ⟨j'||T^1||j⟩·⟨j,m;1,q|j',m'⟩; Auswahlregeln und relative Amplituden folgen unmittelbar aus dem CG-Faktor.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Das Theorem anzuwenden, ohne sicherzustellen, dass der Operator als sphärischer Tensor definierter Ordnung vorliegt, oder Phasen-/Konventionsunterschiede der Clebsch–Gordan-Koeffizienten zu ignorieren, führt zu inkonsistenten Vorzeichen oder fehlenden Auswahlregeln.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Man kann viele Matrixelemente aus einem einzigen reduzierten Matrixelement und bekannten CG-Koeffizienten berechnen, Auswahlregeln systematisch ableiten und modellabhängige Dynamik von universellen geometrischen Faktoren trennen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Wenn die Rotationssymmetrie gebrochen ist (z. B. durch ein externes Feld oder ein anisotropes Medium), faktorisiert das Matrixelement nicht mehr auf diese Weise; der Versuch, die Faktorisierung zu erzwingen, liefert falsche Vorhersagen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Erfordert wohldefinierte Drehimpuls-Eigenzustände und einen Operator, der sich unter Rotationen in sphärische Tensor-Komponenten zerlegen lässt; nicht anwendbar auf Operatoren ohne tensorielle Transformationsregeln oder in Systemen ohne Rotationsinvarianz.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Steht im Spannungsfeld zu vollständigen elementweisen Rechnungen oder heuristischen Auswahlregeln; das Theorem bietet eine exakte algebraische Faktorisierung, ist jedoch konventionsabhängig in Phase und Normierung.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Das Wigner–Eckart-Theorem trennt die universelle geometrische Abhängigkeit von Drehimpuls-Matrixelementen in Clebsch–Gordan-Koeffizienten und fasst die dynamischen Informationen in einem reduzierten Matrixelement zusammen, was systematische, symmetrieverträgliche Rechnungen ermöglicht.