##  [Rotationsoperator](/de/node/51126) 

 Definition

Ein linearer, unitärer Operator auf dem Hilbertraum, der räumliche Rotationen implementiert; mathematisch ist er eine Darstellung der Rotationsgruppe (SO(3)) oder ihrer Doppeldeckung (SU(2)) auf Zustandsvektoren und Operatoren.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Rotationen sind Symmetrieoperationen, die von Drehimpulsgrößen erzeugt werden; endliche Rotationen entstehen durch Exponieren hermitescher Erzeuger (Drehimpulskomponenten) multipliziert mit Rotationsparametern und geteilt durch ħ.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für ein Spin-1/2-Teilchen wird eine Rotation um Winkel θ um Achse n durch R(n,θ)=exp(-i θ n·σ/2) realisiert, wobei σ die Pauli-Matrizen sind; Anwendung von R auf einen Spin-up-Zustand liefert den gedrehten Spinor und transformiert Spin-Erwartungswerte entsprechend einer klassischen Rotation des Bloch-Vektors.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Der Rotationoperator darf nicht mit der klassischen 3×3-orthogonalen Rotationsmatrix verwechselt werden und direkt auf Spinoren angewendet werden; ohne die SU(2)-Darstellung treten Vorzeichen- oder Phasenfehler (Doppeldeckung) für halbzahlige Spins auf.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Bei Rotationsinvarianz ist der Drehimpuls erhalten, Matrixelemente gehorchen Selektionsregeln (z. B. Wigner–Eckart) und Zustände lassen sich nach Gesamtwinkelmoment und dessen Projektionen klassifizieren.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Anstelle einer aktiven Rotation des Zustands kann man das Koordinatensystem passiv rotieren; mathematisch wirkt die inverse (adjungierte) Rotation auf Operatoren und liefert eine äquivalente Darstellung.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für räumliche Rotationen der entsprechenden Gruppe; umfasst keine Lorentz-Boosts, inneren Symmetrien oder beliebige Koordinatenumparametrisierungen; die Wahl der Darstellung (SO(3) vs. SU(2)) richtet sich nach dem Spin des Systems.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Unterscheide den Rotationoperator (unitärer Operator im Hilbertraum) von der klassischen Rotationsmatrix im Konfigurationsraum; beide beschreiben dieselbe physikalische Symmetrie, unterscheiden sich jedoch in Darstellungsraum und können bei Spinoren Phasenunterschiede aufweisen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der Rotationsoperator ist die unitäre Darstellung räumlicher Rotationen auf Quantenzuständen: durch Drehimpulskomponenten erzeugt und exponentiert für endliche Rotationen, erzeugt er Selektionsregeln und Erhaltungssätze und erfordert die passende Gruppenrepräsentation (SO(3)/SU(2)).