##  [Darstellung von SU(2)](/de/node/51144) 

 Definition

Ein Homomorphismus der Lie-Gruppe SU(2) in die Gruppe unitärer Operatoren auf einem Hilbert-Raum, der SU(2)-Symmetrie implementiert; unitäre, irreduzible, endlich-dimensionale Darstellungen sind durch den Spin j (Halbganze) gekennzeichnet und haben die Dimension 2j+1, wodurch Drehimpuls-Multiplette in quantenmechanischen Systemen realisiert werden.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Unitäre Darstellungen erhalten das Skalarprodukt und realisieren die Gruppenwirkung auf dem Zustandsraum; Methoden wie Highest-Weight oder Leitermethoden klassifizieren irreduzible Darstellungen und bestimmen zulässige Spektren der Erzeuger (J^2, J_z).

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Spin-1/2-Darstellung: zweidimensional mit Erzeugern J_i = (ħ/2) σ_i. Spin-1-Darstellung: dreidimensionale Vektordarstellung, die auf Tripeln wirkt. Addition von Drehimpulsen wird durch Tensorproduktdarstellungen und Clebsch–Gordan-Zerlegung in irreduzible SU(2)-Blöcke realisiert.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

SU(2)-Darstellungen mit SO(3)-Darstellungen verwechseln (SU(2) enthält halbganze Spins, die nicht auf SO(3) absteigen), annehmen, alle Darstellungen seien treu, oder nicht-unitäre Darstellungen verwenden, wenn physikalische Quantenzustände modelliert werden sollen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Klassifikation von Teilchenspins und Multipletstruktur, Regeln zur Kombination von Drehimpulsen, Vorhersage von Entartungen und Auswahlregeln für Übergänge sowie eine strukturierte Methode zur Konstruktion kovariant transformierender Operatoren unter Drehungen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Betrachtet man nur projektive oder nicht-unitäre Darstellungen, ändert sich die physikalische Interpretation (kann anomale oder nicht-physikalische Aktionen beschreiben); beschränkt man sich auf SO(3)-Darstellungen, würden Spinoren (halbganze Spins) ausgeschlossen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Fokussiert auf endlich-dimensionale, unitäre, irreduzible Darstellungen von SU(2), die für nichtrelativistischen Spin und Drehimpuls relevant sind; unendlich-dimensionale oder nicht-unitäre Darstellungen sowie Eichfeld-Kontexte erfordern zusätzliche Struktur und liegen außerhalb dieses Rahmens.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Abstrakte mathematische Darstellung (Gruppenhomomorphismus) versus physikalische Realisierung als konkrete Operatoren auf dem Hilbert-Raum eines Systems; Spannung zwischen Klassifikation durch Highest-Weight und der praktischen Konstruktion von Operator-Domänen und Messprotokollen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine SU(2)-Darstellung ist die unitäre Abbildung der abstrakten SU(2)-Symmetrie in Operatoren auf Quantenzuständen: endlich-irreducible Darstellungen, die durch halbganzen Spin indiziert sind, liefern die bekannten Multiplette und Auswahlregeln des Drehimpulses, und Tensorprodukte beschreiben, wie Spins in zusammengesetzten Systemen kombiniert werden.