##  [Unit E4re Darstellung](/de/node/51150) 

 Definition

Eine Gruppenrepre4sentation auf einem Hilbertraum, die durch unite4re Operatoren realisiert wird, so dass Skalarprodukte (und damit Quantenwahrscheinlichkeiten) unter der Wirkung der Gruppe erhalten bleiben.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Physikalische Symmetrien in der Quantenmechanik entsprechen unite4ren (oder antiunite4ren) Operatoren, weil sie fcbergangs-Wahrscheinlichkeiten erhalten mfcssen; unite4re Darstellungen realisieren stetige Symmetrien durch stark stetige unite4re Ein-Parameter-Gruppen, deren Erzeuger selbstadjungierte Operatoren sind.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Die zeitliche Entwicklung in geschlossenen Quantensystemen ist eine unite4re Darstellung der reellen Achse: t e4 U(t)=exp(-iHt/hbar), eine stark stetige unite4re Ein-Parameter-Gruppe mit Erzeuger H. Drehungen werden durch unite4re Operatoren U(R)=exp(-i btheta b7 J/hbar) ffcr Drehimpulsoperatoren J dargestellt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Eine nicht-unite4re c4hnlichkeitstransformation als physikalische Symmetrie zu behandeln vere4ndert in der Regel Skalarprodukte und Vorhersagen; die Behandlung dissipativer Dynamik als unite4r verletzt praktisch die Wahrscheinlichkeitskonservierung.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Unite4re Darstellungen garantieren Wahrscheinlichkeitskonservierung und erlauben die Anwendung spektraler Se4tze und des Stone-Theorems, um stetige Symmetrieparameter mit selbstadjungierten Erzeugern zu verbinden, was beobachtbare Erhaltungsgrf6dfen und Spektralzerlegungen liefert.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Das Aufgeben der Unite4rite4t ffchrt zu nicht-unite4rer Dynamik ffcr offene Systeme (vollste4ndig positive Abbildungen) oder zu nicht-physikalischen Darstellungen, die Wahrscheinlichkeiten nicht erhalten; antiunite4re Abbildungen (z. B. Zeitreversion) erhalten fcbergangs-Wahrscheinlichkeiten, kehren aber die komplexe Struktur um.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt streng ffcr geschlossene Quantensysteme und Symmetriewirkungen auf Hilbertre4umen; in unendlich-dimensionalen Fe4llen treten Domain-Fragen auf, ebenso in projektiven Situationen, wo nur strahlenerhaltende Unite4re existieren, und bei antiunite4ren Symmetrien oder Superselektionsregeln.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Die Spannung liegt zwischen mathematischer Freiheit, Gruppen beliebig linear darzustellen, und der physikalischen Forderung nach Unite4rite4t; unite4re Darstellungen beschre4nken die Realisierungen auf solche, die mit Wahrscheinlichkeitskonservierung und Messtheorie vertre4glich sind.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine unite4re Darstellung ist die physikalisch zule4ssige Realisierung einer Symmetrie auf einem quantenmechanischen Hilbertraum: sie bewahrt Skalarprodukte und verknfcpft stetige Symmetrieparameter mit selbstadjungierten Erzeugern, die konservierte Observable repre4sentieren.