##  [Projektive Darstellung](/de/node/51152) 

 Definition

Ein Homomorphismus einer Gruppe in die projektive lineare Gruppe eines Vektorraums bzw. physikalisch die Zuordnung von Gruppenelementen zu unite4ren Operatoren, die bis auf eine Gesamtphase definiert sind, so dass nur die Wirkung auf Strahlen des Zustandsraums die Gruppenrelationen befolgen muss.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Quantenzuste4nde sind Strahlen, keine Vektoren; daher brauchen Symmetrien nur bis auf komplexe Phasen dargestellt zu werden. Projektive Darstellungen klassifizieren diese Symmetrieaktionen und sind e4quivalent zu linearen Darstellungen geeigneter zentraler Erweiterungen (Deckgruppen), die durch Kohomologieklassen charakterisiert werden.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Spin-1/2 ist das klassische Beispiel: Drehungen auf Spinoren definieren eine projektive Darstellung von SO(3), weil eine 2c0-Drehung einen Spinor mit -1 multipliziert; der Lift zu SU(2) liefert eine lineare unite4re Darstellung, deren Einschre4nkung auf SO(3) projektiv ist.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Phasenambiguity zu vergessen und auf eine einzelwertige lineare Darstellung der ursprfcnglichen Gruppe zu bestehen, obwohl die Topologie das verhindert, ffchrt zu Widersprfcchen; umgekehrt die projektiven Phasen als physikalisch messbar zu behandeln verkennt die Strahlengleichheit.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Projektive Darstellungen erkle4ren das Auftreten halbzahliger Spins und zwingen dazu, mit Deckgruppen oder zentralen Ladungen zu arbeiten; sie beeinflussen die Klassifikation mf6glicher Symmetrieimplementierungen und erzwingen Quantisierungsbedingungen ffcr Observablen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Eine projektive Darstellung durch eine lineare Darstellung einer grf6dferen (zentralen) Gruppe zu ersetzen beseitigt die Phasenambiguity, vere4ndert jedoch die darzustellende Gruppe; umgekehrt reduziert das Quotientieren der Phasen eine lineare Darstellung zu einer projektiven.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Projektive Darstellungen sind relevant, wenn physikalische Zuste4nde Strahlen sind; sie ersetzen keine linearen Darstellungen, wenn eine einzelwertige unite4re Aktion existiert. Die mathematische Klassifikation he4ngt von der zweiten Kohomologie der Gruppe ab; Anomalien und topologische Hindernisse kf6nnen Re4umlichkeiten weiter einschre4nken.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Die Spannung liegt darin, Phasenfaktoren als Eichfreiheiten (physikalisch irrelevant) oder die zentralen Erweiterungen als physikalisch bedeutsam zu betrachten (was zu neuen Erhaltungsgrf6dfen ffchrt); beide Sichtweisen beeinflussen praktische Rechnungen unterschiedlich.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine projektive Darstellung erfasst die physikalisch relevante Wirkung einer Gruppe auf Quantenzustandsstrahlen, indem sie Phasenambiguities zule4sst; sie reflektiert topologische Schranken, die halbzahlige Quantenzahlen erzeugen und weist auf zentrale Erweiterungen oder Deckgruppen hin, um Linearite4t wiederherzustellen.