##  [Feldmittel-Approximation](/de/node/51230) 

 Definition

Ein Näherungsverfahren, das Wechselwirkungen zwischen Teilchen durch ein mittleres bzw. selbstkonsistentes effektives Feld ersetzt, das auf jedes Teilchen wirkt, und damit ein Vielteilchenproblem auf gekoppelte Einteilchenprobleme reduziert.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Annehmen, dass Fluktuationen um einen Mittelwert klein sind oder Korrelationen faktorisiert werden können, und Wechselwirkungsoperatoren durch ihre Erwartungswerte ersetzen, um ein selbstkonsistentes Einteilchenpotenzial zu erhalten; iteriere bis zur Konsistenz.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Beim Bose–Einstein-Kondensat wird das Vielteilchenproblem durch die Gross–Pitaevskii-Gleichung angenähert, wobei der Wechselwirkungsterm durch g|ψ(r)|^2 ersetzt wird und eine nichtlineare Einteilchengleichung für die Kondensatwellenfunktion entsteht; in der Magnetismus-Mean-Field-Theorie (Weiss) werden Nachbarspins durch eine mittlere Magnetisierung ersetzt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Mean-Field-Methoden in der Nähe kritischer Punkte oder in niedrigdimensionalen Systemen anzuwenden, wo Fluktuationen dominieren; oder Vorhersagen für Größen zu treffen, die Zwei-Teilchen-Korrelationen benötigen, ohne Korrekturen, führt zu qualitativ falschen Ergebnissen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Reduziert die Rechenkomplexität und erfasst oft Phasen mit gebrochener Symmetrie sowie qualitative Phasendiagramme; bietet einen praktikablen Ausgangspunkt für perturbative Korrekturen, kollektive Modenanalyse und variationale Abschätzungen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Exakte Vielteilchenbehandlungen, die Korrelationen beibehalten (z. B. Konfigurationswechselwirkung, Quanten-Monte-Carlo, DMRG), welche Fluktuationen und Verschränkung erfassen, die Mean-Field übersieht.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gültig wenn Wechselwirkungen langreichweitig sind, die Koordinationszahl groß oder Fluktuationen klein sind; ungültig in stark korrelierten, niedrigdimensionalen oder kritischen Regimen ohne zusätzliche Fluktuationskorrekturen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Widerspruch zu variationalen und effektiven-Action-Ansätzen: Mean-Field ist ein spezielles variationales Ansatz (Produkt- oder Kohärenz-Zustand) und lässt sich als Sattelpunkt einer Wirkung formulieren, was zu Diskussionen darüber führt, welche Freiheitsgrade als mittlere Felder und welche als fluktuierend zu behandeln sind.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die Mean-Field-Approximation ist eine kontrollierte Vereinfachung, die Vielteilchenwechselwirkungen durch ein selbstkonsistentes Mittel-Feld ersetzt, dabei exakte Korrelationen gegen Rechenbarkeit eintauscht und als Ausgangspunkt für systematische Einschluss von Fluktuationen dient.