##  [Quantenrelative Entropie](/de/node/51330) 

 Definition

Ein Maß für die Unterscheidbarkeit zweier Quantenzustände, definiert für Dichtematrizen ρ und σ als S(ρ||σ) = Tr[ρ (log ρ − log σ)], wenn der Träger von ρ im Träger von σ enthalten ist; es verallgemeinert die klassische Kullback–Leibler-Divergenz auf den quantenmechanischen Kontext.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Relative Entropie quantifiziert die asymptotische Rate, mit der man ρ von σ bei Hypothesentests mit vielen Kopien unterscheiden kann, und ist unter vollständig positiven, spurerhaltenden Abbildungen monoton, was die Irreversibilität von Zustandsumwandlungen widerspiegelt.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In quantenmechanischen Hypothesentests verbinden Chernoff- und Stein-Lemmas die Fehlerratenexponenten mit der relativen Entropie: Bei vielen Kopien ist der optimale Typ-II-Fehlerexponent bei festem Typ-I-Fehler durch die relative Entropie der beiden Zustände gegeben.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Relative Entropie anzuwenden, ohne die Trägerbedingungen zu prüfen (z. B. log σ zu verwenden, wenn σ Null-Eigenwerte dort hat, wo ρ Gewicht hat), kann zu unendlichen oder undefinierten Werten und ungültigen operationellen Folgerungen führen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Korrekte Anwendung liefert operationelle Schranken für Kanalunterscheidung, Datenverarbeitungs-Ungleichungen und thermodynamische Freiheitsdifferenzen; sie bildet die Grundlage vieler Ressourcenmonotonen und Sicherheitsbeweise.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Rollen von ρ und σ zu vertauschen macht die Asymmetrie deutlich: S(ρ||σ) ≠ S(σ||ρ) im Allgemeinen; sie als symmetrische Distanz zu betrachten führt zu irreführenden Interpretationen, die metrische Eigenschaften voraussetzen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert für positive semidefinite, spuranalysierte Operatoren mit geeigneten Trägerbeziehungen; Erweiterungen durch Regularisierung oder eingeschränkte Bereiche existieren, doch naiver Einsatz bei singulären Zuständen oder nicht normierten Operatoren liegt außerhalb des Geltungsbereichs.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen der Auffassung der relativen Entropie als ‚Distanz‘ und ihrer operationalen Rolle als asymmetrische Divergenz; das steht im Widerspruch zu metrischen, symmetrischen Maßen wie Spurdistanz oder Fidelity.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die quantenrelative Entropie ist eine asymmetrische Divergenz, die misst, wie gut sich ein Zustand von einem anderen unterscheiden lässt; sie ist zentral für Hypothesentests, Ressourcen-Theorien und Datenverarbeitungs-Schranken, jedoch kein Metrikmaß und trägerabhängig.