## [Fourier-Darstellung (Wellenfunktion)](/de/node/51432) Definition Die Darstellung eines Quantenzustands in einer Basis von Ebene‑Wellen oder Impuls‑Eigenzuständen, erhalten durch Fourier‑Transformation; sie ist die Darstellung, die die Amplituden für jede Impuls‑ (oder Wellenvektor‑)Komponente des Zustands angibt. ## Prinzip Prinzip Ein Quantenzustand kann in jeder vollständigen Basis expandiert werden; die Fourier‑Darstellung erweitert speziell die Ortswellenfunktion als Integral (oder Summe) über Impuls‑Eigenzustände und macht sichtbar, wie der Zustand in Ebene‑Wellen zerlegt ist und wie Translationssymmetrie diagonal wirkt. ## Demonstration Demonstration Man schreibt ψ(x)=∫ dp ⟨x|p⟩⟨p|ψ⟩ = (1/(2πħ)^{1/2}) ∫ dp e^{ipx/ħ} ψ̃(p). Für ein freies Teilchen entwickeln sich die Fourier‑Koeffizienten unabhängig als ψ̃(p,t)=e^{−iE(p)t/ħ}ψ̃(p,0), was Zeitentwicklung und Streuberechnungen vereinfacht. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Fourier‑Darstellung (Koeffizienten in der Impulsbasis) mit einer Ortswahrscheinlichkeitsdichte zu verwechseln, ohne zurück zu transformieren; oder die kontinuierliche Fourier‑Formel für diskrete oder periodische Systeme zu verwenden, ohne auf diskrete Fourier‑Reihen oder Integrale über die Brillouin‑Zone umzusteigen. ## Konsequenz Konsequenz Macht Impulsverteilungen und Selektionsregeln explizit, vereinfacht Probleme mit Translationsinvarianz oder diagonalen Hamiltonoperatoren und liefert direkten Zugang zu Streuamplituden und Impulsraumoperatoren. ## Umkehrung Umkehrung Die Ortsdarstellung ist die inverse Sichtweise, die denselben Zustand als Amplituden der Ortszustände ausdrückt; andere Darstellungen (Energie, Drehimpuls) betonen andere Symmetrien oder Erhaltungsgrößen. ## Abgrenzung Abgrenzung Erfordert eine vollständige Menge von Impuls‑Eigenzuständen und geeignete Normierung; für Systeme mit diskretem Spektrum, endlichem Volumen oder Gitterperiodizität muss die Fourier‑Darstellung durch diskrete oder Bloch‑Darstellungen ersetzt werden. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannungen entstehen zwischen der Auffassung der Fourier‑Darstellung als rein mathematischem Basiswechsel und der Interpretation ihrer Koeffizienten als physikalisch reale Verteilungen; zusätzlich führt die Unterscheidung zwischen Impuls p und Wellenzahl k (p=ħk) zu Verwirrung. ## Synthese Synthese Die Fourier‑Darstellung einer Wellenfunktion ist die Impulsbasis‑Expansion, erhalten durch Fourier‑Transformation der Ortsamplitude; sie offenbart den Ebene‑Wellen‑Anteil und ist der natürliche Ausgangspunkt für Impulsmessungen, freie Entwicklung und Streuanalysen.