## [Resolventenoperator](/de/node/51446) Definition Die operatorwertige Funktion R(z) = (zI - H)^{-1}, definiert für komplexe Parameter z, die nicht zum Spektrum eines linearen Operators H auf einem Hilbertraum gehören; sie liefert die Inverse der verschobenen Operation und kodiert die spektralen Eigenschaften von H. ## Prinzip Prinzip Betrachte das Resolvent als analytische Abbildung in z, deren Pole und Verzweigungsstruktur Eigenwerte, kontinuierliches Spektrum und Spektralprojektionen offenbaren; benutze Resolventidentitäten zum Verbinden von Operatoren und zum Aufbau einer Funktionalrechnung. ## Demonstration Demonstration Bei einem Hamiltonoperator als endlicher Matrix lässt sich R(z) durch Matrixinversion berechnen; die Pole von R(z) entsprechen den Eigenwerten. In der Streutheorie verbindet das Resolvent des vollständigen Hamiltonoperators über die Lippmann–Schwinger-Beziehung mit dem freien Resolvent und liefert Green-Funktionen. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Das Auswerten von R(z) für z im Spektrum als beschränkten Operator oder das Ignorieren von Definitionsbereichen bei unbeschränkten H führt zu divergenten Ausdrücken oder falschen spektralen Schlüssen. ## Konsequenz Konsequenz Korrekte Anwendung liefert Spektralprojektionen, Integral­darstellungen der Zeitentwicklung (mittels inverser Laplace-/Fouriertransformation), Störungsreihen für Resolvente und konkrete Green-Funktionen für inhomogene Gleichungen. ## Umkehrung Umkehrung Den Fokus auf das Spektrum selbst richten (Punkt-, kontinuierliches, residuales Spektrum) statt auf das analytische Resolvent; anstelle der Inversen (zI - H)^{-1} untersucht man direkte Eigenschaften von H wie Eigenvektoren und Formen. ## Abgrenzung Abgrenzung Nur definiert für z außerhalb des Spektrums; bei unbeschränkten Operatoren sind Definitionsbereiche und Geschlossenheit zu spezifizieren; analytische Fortsetzung und Grenzwerte (z → E ± i0) benötigen eine sorgfältige topologische und distributionsmäßige Behandlung. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Überschneidet sich mit dem Begriff der Green-Funktion (oft bis auf Konventionen identisch), mit zeitlichen Propagatoren und direkten spektralen Zerlegungen — Verwirrung entsteht beim Wechsel der Darstellungen ohne Konventionskontrolle. ## Synthese Synthese Der Resolventoperator ist die analytische Inverse des verschobenen Operators, die spektrale Informationen in einem Objekt zusammenfasst und sich für Spektralanalysen, Störungstheorie und die Konstruktion von Green-Funktionen eignet; seine Singularitäten signalisieren physikalische Resonanzen und gebundene Zustände.