##  [Impulsoperator X](/de/node/51528) 

 Definition

Der Impulsoperator X ist der selbstadjungierte Operator, der die x-Komponente des linearen Impulses darstellt. In Ortsdarstellung wirkt er als P_x = −iħ ∂/∂x (unter Berücksichtigung von Definitionsbereich und Randbedingungen); seine verallgemeinerten Eigenzustände sind ebene Wellen e^{i p_x x/ħ} und sein Spektrum ist in unbegrenztem Raum kontinuierlich.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Er repräsentiert Impuls entlang der x-Achse, erzeugt Translationen in x über die unitäre Gruppe exp(−i a P_x/ħ) und erfüllt die kanonischen Vertauschungsrelationen mit dem Ortsoperator: [X,P_x] = iħ.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für ein eindimensionales Teilchen mit Wellenfunktion ψ(x) gilt P_x ψ = −iħ ∂ψ/∂x. Ein Impuls-Eigenzustand mit Eigenwert p0 hat die Form ψ_p0(x) ∝ exp(i p0 x/ħ); die Messung von P_x liefert p0 mit Wahrscheinlichkeit entsprechend dem Betragsquadrat der Impulsamplitude (Fourier-Komponente).

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

P_x als reinen Multiplikationsoperator in Ortsdarstellung zu behandeln, die Selbstadjungierung oder Randbedingungen zu ignorieren (z. B. auf einem endlichen Intervall) oder formale ebene Wellen mit normalisierbaren physikalischen Zuständen zu verwechseln.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Richtige Behandlung liefert reelle Impulserwartungswerte, unitäre Translationsoperatoren und die üblichen Unschärferelationen mit X; P_x als Erzeuger von Translationen erklärt den Zusammenhang zwischen Impulserhaltung und räumlicher Homogenität.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Im Gegensatz dazu multipliziert der Ortsoperator X mit x und hat lokalisierte Eigenzustände; P_x ist differenziell und hängt mit Phasenverläufen zusammen, nicht mit direkten Ortswerten.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

P_x ist unbeschränkt und benötigt die Festlegung eines Definitionsbereichs sowie geeigneter selbstadjungierter Erweiterungen; in einer Box oder auf einem Gitter wird das Impulsspektrum diskret oder bandartig und die einfache Form −iħ∂/∂x ist anzupassen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen Impuls als Erzeuger von Translationen (operatorzentriert) und Impuls als klassischer Phasenraum-Parameter; die differentielle Form des Operators hängt von Darstellung und Eichwahl in Gegenwart von Vektorpotentialen ab.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der Impulsoperator X ist in der Ortsdarstellung der hermitesche Differentialoperator −iħ ∂/∂x, der die x-Komponente des linearen Impulses realisiert, mit erforderlichen Angaben zu Definitionsbereich, Randbedingungen und Eichfragen sowie direktem Bezug zu Translationssymmetrie und kanonischen Vertauschungsrelationen.