## [Impuls-Eigenwertgleichung](/de/node/51544) Definition Die Operatorengleichung P|p⟩ = p|p⟩, die Impuls-Eigenwerte p und verallgemeinerte Eigenvektoren |p⟩ des Impulsoperators P definiert; in Ortsdarstellung reduziert sich dies auf die Differentialidentität −iħ ∂/∂x ⟨x|p⟩ = p ⟨x|p⟩, die distributionsartig von ebenen Wellen erfüllt wird. ## Prinzip Prinzip Eine Eigenwertgleichung verknüpft einen beobachtbaren Operator mit skalaren Ergebnissen und deren Eigenvektoren; für den Impuls charakterisiert sie den Generator von Translationen und legt das Impulsspektrum fest, das in Spektralzerlegungen und Erhaltungsgesetzen verwendet wird. ## Demonstration Demonstration Mit ⟨x|p⟩ ∝ e^{ipx/ħ} verifiziert man −iħ ∂/∂x e^{ipx/ħ} = p e^{ipx/ħ}. Die Gleichung liegt P = ∫ p |p⟩⟨p| dp und der Impulsraumauflösung von Zuständen zugrunde. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Diese spektrale Identität mit einer Zeitentwicklungsgleichung verwechseln oder die differentielle Form auf Funktionen außerhalb des Operatorbereichs anwenden; p als Operator statt als skalaren Eigenwert behandeln, ohne die Bereichsfragen zu berücksichtigen. ## Konsequenz Konsequenz Stellt die Form der Impulseigenfunktionen fest und rechtfertigt die Verwendung von Impulsprojektoren zur Modellierung von Messungen und Erhaltungsgrößen; sie verbindet sich außerdem mit Kommutatorrelationen, die zu Unschärfeprinzipien führen. ## Umkehrung Umkehrung Das Vertauschen mit der Orts-Eigenwertgleichung X|x⟩ = x|x⟩ tauscht differenzielle und multiplikative Operatorrollen und kehrt die zugehörigen physikalischen Intuitionen über Lokalisation versus Bewegung um. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für selbstadjungierte Impulsoperatoren auf nichtkompakten kontinuierlichen Konfigurationsräumen; Anpassungen oder diskrete Entsprechungen sind für kompakte Mannigfaltigkeiten, Gitter oder in relativistischen Quantenfeldkontexten erforderlich, wo der Einzelteilchenimpuls anders strukturiert ist. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zwischen der heuristischen differentiellen Form und rigorosen Operatorbereichsproblematiken bei unbeschränkten Operatoren; zwischen idealisierten ebenen Wellen-Eigenfunktionen und experimentell vorbereitbaren Zuständen endlicher Breite. ## Synthese Synthese Die Impuls-Eigenwertgleichung ist die Operatoridentität P|p⟩ = p|p⟩, in Ortsraum realisiert als −iħ ∂x⟨x|p⟩ = p⟨x|p⟩, die das Impulsspektrum definiert, die Impulsraum-Analyse begründet und Translation Symmetrie mit Erhaltung verknüpft.