## [Spin-Eigenwertgleichung](/de/node/51554) Definition Die Operatorgleichung S_n |s,m_n⟩ = m_n ħ |s,m_n⟩ (oft für S_z geschrieben), die Eigenwerte m_n ħ einer gewählten Spinkomponente S_n für den Gesamtspin s definiert; sie bestimmt die diskrete Menge möglicher Projektionswerte für diese Komponente. ## Prinzip Prinzip Spinoperatoren gehorchen der Drehimpulsalgebra und ihre Projektionsoperatoren besitzen quantisierte Eigenwerte mħ mit m ∈ {-s, -s+1, ..., s}; das Lösen der Eigenwertgleichung liefert die erlaubten Projektionskennzeichnungen und orthonormale Eigenvektoren. ## Demonstration Demonstration Bei Spin-1-Teilchen sind die S_z-Eigenwerte mħ mit m ∈ {-1,0,1}; Eigenvektoren |1,1⟩, |1,0⟩, |1,-1⟩ bilden eine Basis des Spin-1-Unterraums und bestimmen Messwahrscheinlichkeiten und Kopplungsergebnisse. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Spin-Eigenwertgleichung anzuwenden, ohne den Operator (Achse) anzugeben, oder kontinuierliche Projektionswerte wie in einem klassischen Vektormodell anzunehmen, führt zu konzeptionellen und rechnerischen Fehlern. ## Konsequenz Konsequenz Die Gleichung liefert diskrete, vorhersagbare Ergebnisse für Messungen von Spinkomponenten, bildet die Grundlage für die Additionsregeln des Drehimpulses und bestimmt Vielfachheiten und Selektionsregeln in Spektroskopie und Streuung. ## Umkehrung Umkehrung Behandelt man Spinmessungen klassisch als Komponenten eines kontinuierlichen Vektors S, entstehen falsche Erwartungen über mögliche Messergebnisse und die quantenmechanischen Einschränkungen der Eigenwertgleichung werden ignoriert. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für wohldefinierte Spinoperatoren in endlichdimensionalen Spin-Unterräumen; Komplikationen sind entartete Eigenwerte, die zusätzliche kommutierende Bezeichner benötigen, relativistische Spinorstruktur und Kontexte, in denen Spin kein gutes Quantenzahl mehr ist wegen starker Kopplung. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zwischen den diskreten algebraischen Eigenwerten mħ und halbklassischen Bildern, die kontinuierlich orientierte Spinvektoren annehmen; ebenso Spannung zwischen verschiedenen Quantisierungsachsen, die unterschiedliche Eigenwertbezeichnungen für denselben physikalischen Zustand liefern. ## Synthese Synthese Die Spin-Eigenwertgleichung formt quantisierte Spinprojektionen: Durch Lösen von S_n |s,m_n⟩ = m_n ħ |s,m_n⟩ erhält man das diskrete Projek­tions­spektrum und Eigenvektoren, die Messstatistiken, Kopplungsregeln und Rotations­transformations­eigenschaften bestimmen.