##  [Randbedingung der Schrödinger-Gleichung](/de/node/51576) 

 Definition

Eine Einschränkung an das räumliche oder domänenmäßige Verhalten einer Schrödinger-Wellenfunktion, die erfüllt sein muss, damit der Hamiltonoperator selbstadjungiert ist und die zeitliche Entwicklung physikalisch zulässig ist; Beispiele sind Verschwindensbedingungen im Unendlichen, Dirichlet- oder Neumann-Bedingungen an starren Wänden sowie Matching-Bedingungen an Potentialsprüngen.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Bedingungen an den Rändern so wählen, dass die Definitionsmenge des Hamiltonoperators selbstadjungiert wird und Normierbarkeit sowie Erhaltung der Wahrscheinlichkeit gewährleistet sind; diese Bedingungen bestimmen zulässige Eigenfunktionen und führen in begrenzten Systemen zur Quantisierung der Energie.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Teilchen in einer unendlichen Potentialmulde: die Wellenfunktion muss an den Rändern verschwinden psi(0)=psi(L)=0, wodurch eine diskrete Menge stehender Wellenfunktionen und quantisierte Energien entstehen.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Periodische Randbedingungen ohne physikalische Grundlage auf eine endliche Potentialmulde anwenden oder an einer Delta-Funktion die Ableitung erzwingen zu glätten, wo das korrekte Abgleichverfahren eine Sprungbedingung der Ableitung verlangt, liefert falsche Spektren oder einen nicht selbstadjungierten Operator.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Korrekt gesetzte Randbedingungen liefern ein wohldefiniertes Spektralproblem mit reellen Eigenwerten, orthogonalen Eigenfunktionen, unitärer Zeitentwicklung und gültigen Erwartungswerten.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Statt räumlicher Randbedingungen können asymptotische Streubedingungen spezifiziert oder Parameter von selbstadjungierten Erweiterungen verwendet werden, die erlaubte Randverhalten parametrisieren; das Umkehren solcher Bedingungen kann gebundene Zustände in einen Streukontinuum verwandeln.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für räumliche und definitionsbereichsbezogene Einschränkungen an Wellenfunktionen und ihre Ableitungen in zeitunabhängigen und zeitabhängigen Schrödinger-Problemen; es ersetzt nicht die Behandlung von Operator-Domänen, selbstadjungierten Erweiterungen oder die Festlegung von Eichbedingungen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Randbedingung vs Anfangsbedingung: Randbedingungen beschränken räumliches/Definitionsverhalten und Operator-Domänen, während Anfangsbedingungen den Zustand zu einer Zeit festlegen; Randbedingung vs Matching-Bedingung: Matching adressiert lokale Diskontinuitäten, Randbedingungen eher globale Domainränder.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Randbedingungen der Schrödinger-Gleichung sind die definitionsbereichsbezogenen Auflagen, die zusammen mit dem Hamiltonoperator ein selbstadjungiertes Spektralproblem definieren; sie sichern physikalische Zulässigkeit (Normierbarkeit, Wahrscheinlichkeits­erhaltung) und bestimmen die zulässigen Eigenzustände sowie die Beschaffenheit (diskret vs. kontinuierlich) des Spektrums.