##  [Positionsoperator](/de/node/51750) 

 Definition

Der selbstadjungierte Operator (häufig x̂ oder X genannt) auf einem Hilbertraum, der in der Ortsdarstellung durch Multiplikation wirkt und dessen Spektralmaß das idealisierte Positionsobservable liefert; er ist typischerweise unbeschränkt mit kontinuierlichem Spektrum für ein Teilchen auf R^n.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Ein Operator kodiert die lineare Wirkung auf Zustandsvektoren; der Positionsoperator multipliziert Wellenfunktionen mit dem Koordinatenwert in der Ortsbasis, [x̂ψ](x)=xψ(x), und erfüllt dort, wo definiert, kanonische Relationen mit dem Impulsoperator.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In der eindimensionalen Quantenmechanik auf L^2(R) wirkt der Positionsoperator x̂ als (x̂ψ)(x)=xψ(x) auf dem Definitionsbereich der quadratintegrierbaren Funktionen, für die xψ(x) quadratintegrierbar ist; seine spektralen Projektionen P(Δ) projizieren auf Zustände, die im räumlichen Gebiet Δ lokalisiert sind, und liefern Born-Wahrscheinlichkeiten ⟨ψ|P(Δ)|ψ⟩.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Behandlung von x̂ als beschränkt, seine Anwendung auf Zustände außerhalb seines Definitionsbereichs oder das Ignorieren von Definitionsbereichsproblemen beim Beweis von Kommutatorrelationen oder beim Exponentieren zu Einheitsoperatoren (z.B. e^{i a x̂/ħ}) kann zu mathematischen Fehlern und unphysikalischen Schlüssen führen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Die Verwendung des Positionsoperators liefert eine kompakte operatorentheoretische Beschreibung der Lokalisation und erleichtert die Herleitung von Unschärferelationen, der Kommutationsalgebra mit dem Impuls und die Konstruktion von Translationsoperatoren im Impulsraum durch Exponentieren.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Den Positionsoperator durch ein klassisches Etikett zu ersetzen oder zu versuchen, ihn als beschränkte projektorwertige Beobachtungsgröße für alle realistischen Detektoren darzustellen, widerspricht seiner unbeschränkten spektralen Natur und vernachlässigt die Notwendigkeit von POVMs in nichtidealen Messkontexten.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Der Standard-Positionsoperator gilt für kontinuierliche Konfigurationsräume; er muss auf diskreten Gittern, kompakten Räumen (die selbstadjungierte Erweiterungen erfordern) oder wenn Topologie und Randbedingungen Definitionsbereich und Spektrum verändern, angepasst oder ersetzt werden.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen dem formalen Operator (ein unbeschränktes selbstadjungiertes Objekt mit Definitionsbereichfragen) und dem operationellen Observable (ein POVM, das Messungen mit endlicher Auflösung beschreibt): deren Verwechslung übersieht Detektormodelle und mathematische Strenge bezüglich Definitionsbereichen und Spektren.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der Positionsoperator ist der mathematische selbstadjungierte Operator, der in der Ortsdarstellung die Multiplikation mit der Koordinate realisiert; sein Spektralmaß liefert das idealisierte Positionsobservable, jedoch sind Definitionsbereich, Spektrum und experimentelle Unschärfe bei der Anwendung zu berücksichtigen.