## [Impulsoperator](/de/node/51756) Definition Der lineare Operator auf dem Quantenzustandsraum, der den linearen Impuls darstellt; in der Ortsdarstellung für ein nichtrelativistisches Teilchen ist p̂ = -iħ∇ (bzw. -iħ d/dx in einer Dimension). Er ist hermitesch (auf einem geeigneten Definitionsbereich selbstadjungiert), hat für freie Teilchen ein kontinuierliches Spektrum und ist der Erzeuger spatialer Translationen. ## Prinzip Prinzip Die kanonische Konjugation zur Position und die kanonische Kommutatorrelation [x̂, p̂] = iħ definieren seine algebraische Rolle; als Erzeuger von Translationen folgt Impulserhaltung aus Translationssymmetrie (Noether-Prinzip). ## Demonstration Demonstration Für ein eindimensionales freies Teilchen wirkt p̂ auf eine ebenen Welle ψ_p(x) = e^{ipx/ħ} als p̂ ψ_p = p ψ_p, sodass ebenen Wellen Impuls-Eigenzustände mit Eigenwert p sind. Die Impulsraum-Wellenfunktion ist die Fourier-Transformation der Ortsraum-Wellenfunktion. ## Fehlanwendung Fehlanwendung p̂ als überall definiter multiplikativer Operator im Ortsraum zu behandeln oder Definitionsbereich und Randbedingungen (z. B. auf einem Intervall) zu ignorieren, kann zur Nicht-Selbstadjungiertheit und falschen Spektren führen; die formale Identifikation von -iħ∇ mit einem physischen Observable ohne Spezifikation des Definitionsbereichs ist ein häufiger Fehler. ## Konsequenz Konsequenz Richtig definiert liefert die Messung von Impuls die Impulsverteilung |ψ̃(p)|^2; p̂ erzeugt Translationsentwicklungen von Zuständen und erscheint im kinetischen Term des Hamiltonoperators, was Dynamik und Erhaltungssätze bestimmt. ## Umkehrung Umkehrung In der Impulsdarstellung kehren sich die Rollen um: Impuls wirkt multiplikativ (p̂ → p), während die Position ein Differentialoperator wird (x̂ → iħ∂/∂p), was die Dualität von Ort und Impuls zeigt. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt in der nichtrelativistischen Quantenmechanik auf R^n und für Impulsoperatoren des Schwerpunkts bei Mehrteilchensystemen; Schwierigkeiten treten auf bei beschränkten Gebieten, periodischen Randbedingungen, singulären Potentialen oder in der relativistischen Quantenfeldtheorie, wo der Impuls Teil eines Vierervektors mit anderen Definitions- und Spektraleigenschaften ist. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Es besteht eine Spannung zwischen dem formalen Differentialausdruck (-iħ∇), der in Rechnungen benutzt wird, und der strengen Sicht eines selbstadjungierten Operators mit festgelegtem Definitionsbereich; außerdem besteht eine Spannung zwischen Impuls als Translationserzeuger und dem tatsächlich gemessenen, instrumentabhängigen, geglätteten Wert. ## Synthese Synthese Der Impulsoperator ist der hermitesche Operator, der den linearen Impuls in der Quantenmechanik repräsentiert: formell -iħ∇ in der Ortsdarstellung, algebraisch durch Kommutatoren mit der Position charakterisiert, operativ durch Fourieranalyse messbar und begrenzt durch Definitionsbereich, Randbedingungen und Darstellungswahl.