## [Operador Positivo](/es/node/50704) Definición Un operador auto-adjunto A en un espacio de Hilbert es positivo (A ≥ 0) si ⟨ψ|A|ψ⟩ ≥ 0 para todos los vectores ψ en su dominio; equivalentemente, A tiene espectro no negativo y admite una raíz cuadrada positiva única A = B†B cuando A es acotado y auto-adjunto. ## Principio Principio La positividad dota a los operadores auto-adjuntos de una estructura de orden: sumas y conjugaciones unitarias preservan la positividad, el cálculo funcional produce funciones monotónicas sobre el espectro, y los operadores positivos admiten descomposiciones espectrales con valores propios no negativos o medidas espectrales. ## Demostración Demostración Ejemplos: las matrices de densidad ρ que representan estados cuánticos son positivas con tr(ρ)=1; los proyectores P = P† = P^2 son idempotentes positivos; estados térmicos e^{-βH} (para H auto-adjunto y β≥0) son positivos y frecuentemente de clase traza. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir positividad con no negatividad elemento a elemento de una matriz es un error común; asumir que el producto de dos operadores positivos es positivo sin hipótesis de conmutatividad es incorrecto — AB no tiene por qué ser auto-adjunto o positivo salvo que A y B conmuten y se diagonalicen simultáneamente. ## Consecuencia Consecuencia Los operadores positivos subyacen a observables físicos que producen valores esperados no negativos (probabilidades, densidades), permiten raíces cuadradas y construcciones de purificación, y proporcionan restricciones usadas en programación semidefinida e inecuaciones de operadores. ## Inversión Inversión La inversión es un operador auto-adjunto indefinido o con cambio de signo, con partes espectrales positivas y negativas; tales operadores no admiten raíz cuadrada positiva y dan esperanzas de valor con signo variable según el estado. ## Límite Límite La positividad se define para operadores (o formas) auto-adjuntas en su dominio; estrictamente positivo (definido positivo) significa ⟨ψ|A|ψ⟩ > 0 para ψ no nulo. La positividad de mapas (mapas completamente positivos) es una noción distinta y no debe confundirse con la positividad de operadores. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión entre positividad de operador y positividad elemento a elemento de matrices, y entre semidefinición positiva (permitiendo ceros en el espectro) y definición positiva estricta; la positividad de un operador y la propiedad de preservación de positividad por canales están relacionadas pero son conceptos diferentes. ## Síntesis Síntesis Un operador positivo es un operador auto-adjunto cuya forma cuadrática es no negativa en su dominio, equivalentemente uno con espectro no negativo; constituye una clase ordenada y físicamente significativa de operadores usada para estados, observables y desigualdades convexas.