## [Recurrencia de Poincaré (Cuántica)](/es/node/50822) Definición La formulación cuántica del teorema de recurrencia de Poincaré: en un sistema cuántico aislado con espacio de Hilbert de dimensión finita (o espectro de punto puro), el estado del sistema volverá arbitrariamente cerca de su estado inicial infinitas veces; esto es una consecuencia rigurosa de la evolución unitaria sobre una variedad de estados compacta. ## Principio Principio La compacidad de la órbita unitaria en un espacio de Hilbert finito (o la casi-periodicidad inducida por un espectro de punto puro) garantiza que para todo ε>0 existan tiempos arbitrariamente grandes t tales que ||ψ(t)-ψ(0)||<ε, produciendo recurrencias cercanas. ## Demostración Demostración Un sistema cerrado de espines con N espines (dimensión finita del espacio de Hilbert 2^N) exhibe recurrencias de Poincaré: tras tiempos de recurrencia suficientemente largos pero finitos la función de onda global retorna arbitrariamente cerca del vector inicial; estudios numéricos muestran recurrencia para tamaño finito aunque los tiempos crecen rápidamente con N. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar el teorema para afirmar recurrencias observables experimentalmente en sistemas macroscópicos sin considerar el crecimiento exponencial de los tiempos de recurrencia, o aplicar el resultado a sistemas abiertos o espectros continuos donde fallan las hipótesis del teorema. ## Consecuencia Consecuencia Establece una restricción formal al mezclado estricto y la pérdida permanente de información en sistemas cuánticos cerrados y finitos: todo estado inicial se revisita arbitrariamente cerca, con lo que la equilibración aparente debe entenderse como efectiva y limitada en tiempo. ## Inversión Inversión Si el sistema tiene espectro continuo, es no acotado o intercambia energía/información con un entorno, las recurrencias de Poincaré no están garantizadas y puede emerger irreversibilidad práctica. ## Límite Límite Se aplica bajo hipótesis estrictas: aislamiento, dimensión finita del espacio de Hilbert o espectro de punto puro, y dinámica unitaria. El teorema no cuantifica los tiempos de recurrencia, que típicamente escalan supra-polinomial o exponencialmente con el tamaño del sistema. ## Tensión semántica Tensión semántica Choque con la mecánica estadística: la recurrencia de Poincaré es exacta matemáticamente mientras que la irreversibilidad termodinámica y la equilibración efectiva dependen de typicalidad y de tiempos de recurrencia enormes, resolviéndose la paradoja aparente por la separación de escalas temporales. ## Síntesis Síntesis El teorema cuántico de recurrencia de Poincaré afirma rigurosamente retornos arbitrariamente cercanos en sistemas aislados finitos o con espectro puntual; sus implicaciones físicas dependen críticamente de las escalas temporales, por lo que condiciona pero no niega la equilibración efectiva en la práctica.