## [Representaci F3n Proyectiva](/es/node/51152) Definición Un homomorfismo de un grupo al grupo lineal proyectivo de un espacio vectorial o, físicamente, una asignación de elementos del grupo a operadores unitarios definidos hasta una fase global, de modo que solo la acción sobre rayos del espacio de estados debe respetar la ley de grupo. ## Principio Principio Los estados cuánticos son rayos, no vectores, por lo que las simetrías solo necesitan representarse hasta factores de fase complejos; las representaciones proyectivas clasifican esas acciones de simetría y son matemáticamente equivalentes a representaciones ordinarias de extensiones centrales (grupos de recubrimiento) caracterizadas por clases de cohomología. ## Demostración Demostración El spin 1/2 es el ejemplo canónico: las rotaciones que actúan sobre espinores definen una representación proyectiva de SO(3) porque una rotación de 2c0 multiplica un espinor por -1; elevando a SU(2) se obtiene una representación lineal unitaria cuya restricción a SO(3) es proyectiva. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Olvidar la ambigüedad de fase y exigir una representación lineal de valor único del grupo original cuando la topología lo impide conduce a contradicciones; de forma inversa, tratar las fases proyectivas como físicamente observables (fases absolutas medibles) malinterpreta la equivalencia de rayos. ## Consecuencia Consecuencia Las representaciones proyectivas explican la existencia de spin semientero y obligan a trabajar con grupos de recubrimiento o a incluir cargas centrales; afectan la clasificación de implementaciones de simetría posibles e imponen condiciones de cuantización sobre observables. ## Inversión Inversión Reemplazar una representación proyectiva por una representación lineal de un grupo mayor (extensión central) elimina la ambigüedad de fase pero cambia el grupo representado; alternativamente, al tomar el cociente por las fases se reduce una representación lineal a una proyectiva. ## Límite Límite Las representaciones proyectivas son relevantes cuando los estados físicos son rayos; no sustituyen a las representaciones lineales cuando existe una acción unitaria de valor único. La clasificación matemática depende de la segunda cohomología del grupo; anomalías y obstáculos topológicos pueden restringir más las realizaciones. ## Tensión semántica Tensión semántica La tensión está entre considerar los factores de fase como libertades de gauge (irrelevantes físicamente) y considerar las extensiones centrales como físicamente significativas (conduciendo a nuevas cargas conservadas); ambas perspectivas llevan a cálculos prácticos distintos. ## Síntesis Síntesis Una representación proyectiva captura la acción físicamente significativa de un grupo sobre rayos cuánticos permitiendo ambigüedades de fase; refleja las restricciones topológicas que generan números cuánticos semienteros e indica el recurso a extensiones centrales o grupos de recubrimiento para restaurar la linealidad.