## [Ecuación de Lippmann–Schwinger](/es/node/51186) Definición Ecuación integral/operador que expresa el estado de dispersión como el estado libre (entrante o saliente) más el efecto de la interacción a través del funcional de Green libre: |ψ±> = |φ> + G0(E ± i0) V |ψ±>, y de forma equivalente T = V + V G0(E ± i0) T. Es la solución formal de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo con condiciones de contorno salientes (+) o entrantes (−). ## Principio Principio Imponer la condición causal adecuada (ondas salientes o entrantes) y expresar la función de onda completa o el operador de transición en términos del resolvente del Hamiltoniano libre; esto convierte el problema diferencial de dispersión en una ecuación integral susceptible de iteración (serie de Born) y manipulación operativa. ## Demostración Demostración Para un potencial de corto alcance V(r), proyectar la ecuación sobre estados de onda plana produce el elemento de matriz T(k',k;E) = V(k',k) + ∫ dq V(k',q) G0(E+i0;q) T(q,k;E). La primera iteración da la aproximación de Born T ≈ V, que para potenciales débiles proporciona la amplitud de dispersión al orden más bajo usada para calcular secciones eficaces diferenciales. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar la forma estándar de Lippmann–Schwinger sin modificar la función de Green para interacciones de largo alcance como Coulomb, o ignorar la prescripción ± i0 y escoger condiciones de contorno incorrectas; tratar integrales divergentes como convergentes sin regularización cuando el resolvente libre tiene singularidades en la envolvente energética. ## Consecuencia Consecuencia Proporciona una vía sistemática para cálculos perturbativos y no perturbativos: series de Born, factorización de operadores y solución numérica directa generan la amplitud de dispersión, los desfases y los polos correspondientes a estados ligados (a través de la ecuación homogénea). Sustenta descomposiciones en ondas parciales y técnicas de continuación analítica para resonancias. ## Inversión Inversión Considerada como ecuación homogénea (|φ>=0), la condición de Lippmann–Schwinger se convierte en la ecuación de polos para estados ligados/resonancias: (1 − G0 V)|ψ>=0. Invirtiendo la perspectiva, resolver el problema homogéneo identifica estados ligados en lugar de soluciones de dispersión. ## Límite Límite Válida para hamiltonianos donde el resolvente libre G0(E±i0) esté bien definido y la interacción decaiga suficientemente rápido; se requieren modificaciones para fuerzas verdaderamente de largo alcance, para potenciales singulares concretos y cuando correlaciones de muchos cuerpos o acoplos de canales modifican la estructura analítica del resolvente. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre la exactitud formal de la ecuación operador y las aproximaciones prácticas: la misma ecuación conduce a soluciones exactas, a una serie de Born perturbativa o a desarrollos iterativos divergentes según la intensidad del potencial y las elecciones de continuación analítica; esto genera ambigüedad en aplicaciones en regímenes de acoplamiento fuerte o interacciones de largo alcance. ## Síntesis Síntesis La ecuación de Lippmann–Schwinger es la representación integral formal de la dispersión cuántica: al incorporar la interacción en el resolvente libre produce los estados de dispersión con las condiciones causales correctas y el operador T cuyas matrices son las amplitudes físicas, conectando además dispersión y estados ligados mediante la versión homogénea.