##  [Función Propia Generalizada](/es/node/51442) 

 Definición

Una solución ψ de la ecuación de valores propios Aψ=λψ que no pertenece al espacio de Hilbert como vector normalizable pero satisface la ecuación en sentido distribuciónal o en el formalismo de espacio de Hilbert rigged; las funciones propias generalizadas describen estados de espectro continuo como ondas planas o estados de dispersión.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Según el teorema espectral y el formalismo de espacio de Hilbert rigged: operadores autoadjuntos admiten descomposiciones espectrales que incluyen partes continuas representadas por funciones propias generalizadas, normalizadas en sentido de delta, y usadas para expandir estados físicos (normalizables) como integrales sobre el espectro.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Las funciones propias del momento de la partícula libre ψk(x)=e^{ikx}/√(2π) son funciones propias generalizadas del operador momento con valor propio k; soluciones de dispersión de la ecuación de Schrödinger a energía positiva son funciones propias generalizadas del Hamiltoniano, usadas para calcular elementos de la matriz S.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Tratar las funciones propias generalizadas como vectores base normalizables en L2, usar sus valores puntuales para asignar probabilidades sin formar paquetes de onda, o ignorar condiciones de contorno y autoadjunción que determinan si tales soluciones generalizadas son físicamente admisibles.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Permiten expansiones espectrales de estados físicos como integrales (superposiciones continuas), el cálculo práctico de amplitudes de dispersión y probabilidades de transición, y sirven de puente operativo entre ecuaciones formales de valores propios y observables medibles del espectro continuo.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Funciones propias discretas y cuadrado-integrables que pertenecen al espacio de Hilbert (estados ligados normalizables) y que son ortonormales en el sentido habitual, correspondientes al espectro puntual en lugar del continuo.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Válidas para operadores autoadjuntos (o adecuadamente extendidos) que exhiben espectro continuo; las funciones propias generalizadas no están en L2 y requieren interpretación distribuciónal y la maquinaria del espacio de Hilbert rigged; pueden no existir para operadores no autoadjuntos o ser no físicas sin condiciones de contorno apropiadas.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre llamar a estos objetos 'funciones propias' —lo que sugiere pertenencia al espacio de funciones ordinario— y su verdadero estatus como vectores distribuciónales normalizados por deltas; también tensión entre el uso heurístico de los físicos y la rigurosidad matemática sobre dominios y extensiones de operadores.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Una función propia generalizada es una solución distribuciónal de una ecuación de valor propio asociada al espectro continuo: no cuadrado-integrable pero delta-normalizada, permite descomposiciones espectrales integrales y proporciona la base para describir dispersión y observables del continuo cuando se usa con paquetes de onda y especificaciones de dominio operatorio adecuadas.