## [Aproximación del Cálculo Variacional](/es/node/51682) Definición La aproximación introducida cuando el espacio variacional completo se restringe a un subconjunto finito o parametrizado (ansatz), produciendo energías y estados aproximados; caracterizada por errores sistemáticos cuyo comportamiento depende de la expresividad del espacio de prueba y de la calidad de la optimización. ## Principio Principio Principio de la cota superior variacional: cualquier estado de prueba de un subconjunto admisible da un valor esperado del Hamiltoniano mayor o igual que la energía real del estado fundamental; mejorar el espacio de prueba o los parámetros reduce sistemáticamente esta cota hacia el valor exacto. ## Demostración Demostración Aproximar el estado fundamental de un oscilador anharmónico usando una función de prueba de dos parámetros que combine la anchura gaussiana y una corrección cuártica; calcular la expectativa de energía, optimizar parámetros y observar que añadir funciones base más flexibles reduce la energía calculada acercándola al resultado exacto. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que aumentar el número de parámetros siempre reduce el error de manera monótona sin comprobar sobreajuste, dependencia lineal en funciones base o mal condicionamiento numérico; la ampliación ciega puede provocar optimizaciones inestables a pesar de un espacio teóricamente mejor. ## Consecuencia Consecuencia La aproximación suministra soluciones tratables con cotas superiores cuantificables sobre la energía, permite el control del error mediante el enriquecimiento sistemático de la base y posibilita el cálculo práctico de sistemas complejos que son intratables exactamente. ## Inversión Inversión El contrario es la solución exacta obtenida al expandir el espacio de prueba hasta el espacio de Hilbert completo o mediante diagonalización exacta; esto elimina el error de aproximación variacional pero suele ser computacionalmente prohibitivo para sistemas grandes. ## Límite Límite Se aplica a estimaciones de observables que se calculan como valores esperados de estados de prueba; no garantiza precisión uniforme en todos los observables (las energías suelen converger más rápido que algunas densidades locales o funciones de correlación) y excluye casos donde los espacios de prueba violan restricciones físicas. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión entre parsimonia (pocos parámetros, interpretabilidad, rapidez) y completitud (muchos parámetros, precisión, coste); también entre estimaciones de energía con cota superior garantizada y otras estrategias de aproximación que pueden ser no sesgadas pero presentar distintas características de error. ## Síntesis Síntesis La aproximación variacional es la restricción controlada del espacio de estados permitidos para hacer el cálculo viable: al elegir y mejorar un ansatz parametrizado se obtienen energías y observables aproximados con cotas previsibles y una hoja de ruta para el refinamiento sistemático.