##  [Derivación de la Solución WKB](/es/node/51688) 

 Definición

El proceso matemático formal que produce la aproximación semiclasica WKB (Wentzel–Kramers–Brillouin) de la función de onda al insertar un ansatz exponencial en la ecuación de Schrödinger y expandir en potencias de la constante de Planck para obtener ecuaciones de transporte de orden principal y de órdenes superiores para amplitud y fase.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Suponer un ansatz semiclasico ψ(x)=A(x) exp(i S(x)/ħ) (o una exponencial real en regiones clásicamente prohibidas), expandir S y A como series asintóticas en ħ, y comparar órdenes en ħ para derivar la ecuación de Hamilton–Jacobi en primer orden y ecuaciones de transporte sucesivas para las correcciones de amplitud.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para una partícula unidimensional con potencial V(x), insertar ψ(x)=exp[(i/ħ)∑_{n≥0} ħ^n S_n(x)] en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. El término O(ħ^0) produce S_0'(x)^2 = 2m(E−V(x)), lo que da el momento clásico local p(x)=S_0'(x), mientras que el término O(ħ^1) determina A(x) mediante A' + (A S_0'')/(2 S_0') = 0, conduciendo a A ∝ 1/√|p(x)| lejos de puntos de giro.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Continuar formalmente la expansión WKB a través de un punto de giro sin aplicar fórmulas de conexión ni emparejar con la solución local de la ecuación de Airy produce aproximaciones exponencialmente divergentes o discontinuas y desfases de fase incorrectos, falseando probabilidades de tunelamiento o condiciones de cuantización.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Derivar correctamente la solución WKB da expresiones semiclasicas explícitas para funciones de onda, amplitudes locales e integrales de fase que conducen a reglas de cuantización (p. ej., Bohr–Sommerfeld) y a los exponentes dominantes del tunelamiento, permitiendo estimaciones analíticas donde no hay soluciones exactas.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La perspectiva inversa es partir de soluciones exactas (cuando existan) y demostrar que convergen a las formas WKB en el límite ħ→0; esa inversión aclara el carácter asintótico de la aproximación e identifica términos de corrección mediante el ajuste con resultados exactos.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Válida en regiones donde el momento clásico p(x)=√{2m(E−V)} varía lentamente y no es nulo frente a su derivada (|p'|≪p^2), y falla en puntos de giro clásicos y para potenciales singulares salvo que se usen aproximaciones uniformes o fórmulas de conexión; no es exacta para números cuánticos pequeños o interferencias cuánticas intensas.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Existe tensión entre ver la derivación WKB como una expansión asintótica formal (vista matemática) y como una aproximación semiclasica intuitiva (vista física); reconciliarlas exige controlar la escala de errores y el dominio de validez.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La derivación de la solución WKB es el método asintótico que produce funciones de onda semiclasicas al sustituir un ansatz exponencial fase‑amplitud en la ecuación de Schrödinger y resolver jerárquicamente las ecuaciones resultantes orden por orden en ħ para obtener integrales de fase clásicas y leyes de transporte de amplitud, con tratamiento especial en puntos de giro.