## [Operador de Momento](/es/node/51756) Definición El operador lineal en el espacio de estados cuánticos que representa el momento lineal; en la representación de posición para una partícula no relativista se escribe p̂ = -iħ∇ (o -iħ d/dx en una dimensión). Es hermítico (auto-adjunto en un dominio apropiado), tiene espectro continuo para partículas libres y es el generador de traslaciones espaciales. ## Principio Principio La conjugación canónica con la posición y la relación de conmutación canónica [x̂, p̂] = iħ definen su papel algebraico; como generador de traslaciones, la conservación del momento se deriva de la simetría traslacional según el teorema de Noether. ## Demostración Demostración Para una partícula libre en una dimensión, p̂ aplicado a una onda plana ψ_p(x) = e^{ipx/ħ} produce p̂ ψ_p = p ψ_p, por lo que las ondas planas son estados propios de momento con valor propio p. La función de onda en momento es la transformada de Fourier de la de posición. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar p̂ como un operador multiplicativo definido en todo el espacio de posición o ignorar el dominio y las condiciones de contorno (por ejemplo en un intervalo) puede dar lugar a falta de auto-adjunción y espectros incorrectos; identificar formalmente -iħ∇ con un observable sin especificar condiciones es un error común. ## Consecuencia Consecuencia Bien definido, medir el momento produce la distribución de probabilidad |ψ̃(p)|^2; p̂ genera traslaciones de estados y aparece en el término cinético del Hamiltoniano, influyendo en la dinámica y en las leyes de conservación. ## Inversión Inversión En la representación de momento los papeles se invierten: el momento actúa multiplicativamente (p̂ → p) mientras que la posición se convierte en operador diferencial (x̂ → iħ∂/∂p), mostrando la dualidad posición-momento. ## Límite Límite Se aplica en la mecánica cuántica no relativista sobre R^n y a operadores de momento del centro de masa en sistemas de varias partículas; surgen complicaciones en dominios acotados, con condiciones periódicas, en presencia de potenciales singulares o en la teoría cuántica de campos relativista, donde el momento forma parte de un operador de cuatro-vectores con propiedades de dominio y espectro diferentes. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre la expresión diferencial formal (-iħ∇) empleada en cálculos y la noción rigurosa de un operador auto-adjunto con dominio especificado; otra tensión contrapone al impulso como generador de traslaciones y la cantidad medida por un instrumento real que impone un suavizado. ## Síntesis Síntesis El Operador de Momento es el operador hermítico que implementa el momento lineal en la teoría cuántica: formalmente -iħ∇ en espacio de posición, definido por sus conmutadores con la posición, leído por estadísticas relacionadas con la transformada de Fourier y limitado por el dominio, condiciones de contorno y la representación escogida.