## [Règle de Born](/fr/node/50570) Définition La règle de Born est la prescription de la mécanique quantique qui associe une probabilité à un résultat de mesure : la probabilité d'obtenir l'issue associée au projecteur P pour un système en état |ψ⟩ est Tr(P |ψ⟩⟨ψ|) = ⟨ψ|P|ψ⟩ ; pour un résultat pur représenté par un vecteur normalisé |φ⟩, elle se réduit à |⟨φ|ψ⟩|^2. ## Principe Principe Les probabilités quantiques se calculent à partir du carré des amplitudes (ou des valeurs d'attente de projecteurs) ; les amplitudes sont complexes et les prédictions physiques sont des nombres réels non négatifs dérivés d'elles. ## Démonstration Démonstration Pour une particule de spin 1/2 préparée dans l'état |ψ⟩ = α|↑⟩ + β|↓⟩ avec |α|^2+|β|^2=1, la règle de Born prédit la probabilité |α|^2 de mesurer spin-up selon l'axe choisi. Pour une observable continue comme la position, la règle donne une densité de probabilité |ψ(x)|^2 par rapport à la mesure de Lebesgue. ## Mauvaise application Mauvaise application Appliquer la règle de Born à un vecteur non normalisé sans corriger la normalisation, ou interpréter le module carré pour un spectre continu sans la mesure appropriée, conduit à des probabilités erronées ; utiliser des opérateurs non projetifs ou mal définis comme événements de mesure constitue aussi une mauvaise application. ## Conséquence Conséquence La règle de Born relie l'état abstrait ou l'opérateur densité aux statistiques expérimentales, rendant les états quantiques empiriquement significatifs et permettant de déduire espérances, variances et fréquences observées. ## Inversion Inversion Inverser la règle — tenter de retrouver un vecteur d'état unique à partir d'une probabilité isolée — échoue car les probabilités effacent les phases relatives et, pour des états mixtes, ne peuvent pas déterminer un état pur de manière univoque. ## Limite Limite La règle de Born s'applique aux mesures projectives et se généralise aux mesures à opérateurs positifs (POVM) via Tr(E_i ρ) ; elle ne prescrit pas la dynamique ni la préparation des états, et sa forme directe suppose une mesure adéquate pour les spectres continus. ## Tension sémantique Tension sémantique Il existe une tension entre considérer la règle de Born comme un postulat fondamental et chercher à la déduire de principes plus profonds (par exemple arguments décisionnels ou de symétrie) ; tension aussi entre la prescription opérationnelle de probabilité et les interprétations ontologiques des amplitudes. ## Synthèse Synthèse La règle de Born fait le lien opérationnel entre le formalisme quantique (vecteurs d'état et opérateurs) et les fréquences observées : calculer produits scalaires ou traces, prendre le module carré ou la valeur d'attente, et interpréter le résultat comme probabilité mesurable, en respectant normalisation et mesure adéquate pour les variables continues.