##  [Produit Extérieur](/fr/node/50586) 

 Définition

Un opérateur formé en combinant un ket et un bra dans l'ordre |ψ⟩⟨φ| ; il envoie un vecteur |χ⟩ sur |ψ⟩⟨φ|χ⟩ et est un opérateur linéaire de rang un lorsque ψ et φ sont non nuls. Les produits extérieurs sont des éléments de base pour les projecteurs et les décompositions d'opérateurs.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'appariement ordonné d'un ket avec un bra engendre une application linéaire de l'espace de Hilbert sur lui-même : |ψ⟩⟨φ| agit en projetant selon φ et en réorientant vers ψ. Les combinaisons linéaires de produits extérieurs engendrent l'espace des opérateurs de rang fini.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Si |ψ⟩ et |φ⟩ sont normalisés et identiques, P = |ψ⟩⟨ψ| est le projecteur sur le sous-espace unidimensionnel engendré par |ψ⟩. Dans une base {|i⟩}, le produit extérieur |i⟩⟨j| est la matrice avec un 1 à la ligne i, colonne j et des zéros ailleurs, permettant la reconstruction de matrices par Σ_{i,j} A_{ij} |i⟩⟨j|.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre produits extérieurs et produits intérieurs (écrire |ψ⟩⟨φ| comme si c'était le scalaire ⟨φ|ψ⟩) ou omettre l'ordre des opérateurs conduit à un mauvais usage des projecteurs et à une algèbre d'opérateurs erronée.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les produits extérieurs offrent une manière indépendante de la base de construire des opérateurs, d'exprimer des matrices densité et de bâtir des décompositions spectrales ; ils clarifient l'action des mesures et des projections sur les états.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Inversement, permuter l'ordre en ⟨φ|ψ⟩ donne un scalaire (produit intérieur) plutôt qu'un opérateur ; prendre l'adjointe hermitienne échange ket et bra : (|ψ⟩⟨φ|)† = |φ⟩⟨ψ|.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini pour des vecteurs dans des espaces de Hilbert munis de bras et de kets bien définis ; en dimension infinie, il faut veiller aux domaines et à la clôture lorsqu'on représente des opérateurs par des séries infinies de produits extérieurs.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Le produit extérieur en tant qu'opérateur contraste avec le produit intérieur scalaire ; les débutants peuvent les confondre parce que les deux combinent bras et kets, provoquant une tension entre interprétation comme objet et comme valeur.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le produit extérieur est la combinaison ordonnée ket–bra qui produit un opérateur linéaire — de rang un lorsqu'il est formé à partir de vecteurs simples — servant de projecteur et de terme élémentaire dans les développements d'opérateurs.