## [Valeur Attendue](/fr/node/50612) Définition La valeur moyenne prédite pour un observable dans un état quantique donné, calculée comme la trace du produit de l'opérateur densité et de l'observable : = Tr(rho A) ; pour un état pur |psi>, = . ## Principe Principe La valeur attendue est un fonctionnel linéaire sur l'espace des observables qui encode la prédiction statistique pour un ensemble ou un système unique selon la règle de Born ; elle résume le premier moment de la distribution des résultats. ## Démonstration Démonstration Pour une particule spin-1/2 dans l'état |↑_z>, l'espérance de sigma_z est = <↑_z|sigma_z|↑_z> = +1, tandis que dans l'état (|↑_z>+|↓_z>)/√2 elle vaut 0. ## Mauvaise application Mauvaise application Interpréter la valeur attendue comme le résultat d'une mesure unique dans tous les cas ; l'espérance peut se situer entre des valeurs propres et ne coïncider avec aucun résultat réel en un seul coup sauf si l'état est un vecteur propre. ## Conséquence Conséquence Un emploi correct fournit des moyennes expérimentalement accessibles en répétant les préparations et sous-tend les relations dynamiques (par exemple les équations de Heisenberg pour les espérances) et les grandeurs thermodynamiques dérivées d'espérances d'opérateurs. ## Inversion Inversion La mise en contraste oppose les valeurs attendues aux distributions de probabilité complètes : connaître uniquement les espérances ne détermine pas les moments supérieurs ni la statistique complète, donc l'espérance seule ne reconstruit pas la distribution de mesure. ## Limite Limite Définie pour des observables hermitiens et des états pour lesquels la trace existe ; pour des opérateurs non bornés il faut s'assurer que l'état appartient au domaine requis. L'espérance n'est pas une mesure de probabilité mais un moment de celle-ci. ## Tension sémantique Tension sémantique La valeur attendue est souvent confondue avec la moyenne d'échantillon, la moyenne expérimentale ou l'espérance classique ; en contexte quantique il faut la distinguer des valeurs faibles (weak values), qui peuvent être complexes et dépendre de pré- et post-sélection. ## Synthèse Synthèse La valeur attendue est la moyenne linéaire d'un opérateur donnée un état, fournissant le premier moment statistique des résultats de mesure : essentielle aux prédictions et à la dynamique, mais incomplète sans les moments supérieurs.