##  [Équation de Continuité (Quantique)](/fr/node/50646) 

 Définition

Loi locale de conservation de la probabilité en mécanique quantique non relativiste, exprimée par ∂ρ/∂t + ∇·j = 0, où ρ(x,t)=|ψ(x,t)|^2 est la densité de probabilité et j(x,t)=(ħ/2mi)(ψ*∇ψ − ψ∇ψ*) est le courant de probabilité pour une fonction d'onde ψ régie par Schrödinger.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'évolution unitaire de la fonction d'onde sous un hamiltonien hermitien entraîne la conservation locale de la probabilité ; formellement, la continuité relie la variation temporelle de la densité à la divergence d'un courant.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour un paquet d'ondes gaussien unidimensionnel évoluant sous l'équation de Schrödinger libre, calculer ∂|ψ|^2/∂t et le courant j=(ħ/2mi)(ψ*∂xψ−ψ∂xψ*). La substitution directe montre ∂ρ/∂t+∂x j=0, illustrant que la probabilité se transporte mais que sa quantité totale reste constante.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Considérer j comme un flux de particules classique sans tenir compte de la phase de la fonction d'onde (par exemple utiliser |ψ|^2 multiplié par une vitesse classique) ou appliquer la même forme lorsque l'hamiltonien n'est pas hermitien conduit à la violation de la conservation locale et à des prédictions erronées.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Si l'équation de continuité est satisfaite et que les termes de bord s'annulent à l'infini, la probabilité totale intégrée ∫ρ dV est constante dans le temps ; la conservation locale contraint le transport, la diffusion et les conditions aux limites en mécanique quantique.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

En revanche, un processus physique avec évolution non unitaire (réduction de la fonction d'onde par mesure ou système ouvert avec termes effectifs non hermitiens) brise l'équation de continuité : ∂ρ/∂t + ∇·j = s, où s représente une source ou un puits de probabilité.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique principalement aux dynamiques Schrödinger mono-particule non relativistes avec ψ dans L2 ou aux fonctions d'onde multi-corps appropriées ; elle ne s'applique pas directement aux théories de champs relativistes sans utiliser leurs courants conservés spécifiques, ni aux dynamiques non unitaires.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre l'équation de continuité comme conservation locale de la probabilité et des interprétations alternatives où |ψ|^2 est une densité d'ensemble ou où la probabilité n'est définie qu'après mesure ; distinction également entre courant de probabilité et courant de charge physique en contexte relativiste et chargé.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'équation de continuité quantique est l'expression mathématique locale de la conservation de la probabilité découlant de l'évolution unitaire de Schrödinger : elle relie la densité au courant dépendant de la phase et contraint les dynamiques et conditions aux limites, tout en autorisant des termes sources si l'unicité est perdue.